Простые проценты (стр. 3 )

Решение.

, т. е. 45,625%

, т. е. 60,833%

1.1. Простые проценты

Тренировочные задания

На вторичном рынке куплена облигация ГКО за 900 руб. Какова доходность операции к погашению, если до погашения осталось 2 месяца? Доходность выразить в виде простой годовой про­центной ставки и простой годовой учетной ставки. Номинал об­лигации 1000 руб.

2. Долговое обязательство выписано на сумму 5000 руб. с уплатой через 300 дней, предусматривая, что стоимость кредита состав­ляет 20% этой суммы. Чему равна доходность кредитора, изме­ряемая простой ставкой наращения i и учетной ставкой d?

3. Долговое обязательство уплатить 10000 руб. с процентами, на­числяемыми по простой годовой процентной ставке 25% в тече­ние 150 дней (временная база К=365), через 100 дней было учте­но в банке по учетной ставке 20% (временная база 360). Сколько получил кредитор? Чему равен дисконт банка?

1.1. Простые проценты

Тест

1. Что означает принцип финансовой неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени?

а) обесценение денег в связи с инфляцией;

б) возрастание риска с увеличением срока ссуды;

в) возможность инвестировать деньги с целью получить доход;

г) снижение себестоимости товаров в связи с научно-техническим прогрессом.

2. Укажите возможные способы измерения ставок процентов:

а) только процентами;

б) только десятичной дробью;

в) только натуральной дробью с точностью до 1/32;

г) процентами, десятичной или натуральной дробью.

3. Укажите формулу наращения по простым процентам:

a) S=P(1+ni);

б)S=P(1-nd);

в)P=S(1-ni)‾¹;

г) Р=S(1-nd)‾¹.

4. В чем сущность французской практики начисления простых про­центов?

а) в использовании обыкновенных процентов и приближенного срока ссуды;

б) в использовании точных процентов и приближенного срока ссуды;

в) в использовании точных процентов и точного срока ссуды;

г) в использовании обыкновенных процентов и точного срока ссуды.

5. В чем сущность германской практики начисления простых процентов?

а) в использовании обыкновенных процентов и приближенного срока ссуды;

б) в использовании точных процентов и приближенного срока ссуд;

в) в использовании точных процентов и точного срока ссуды;

г) в использовании обыкновенных процентов и точного срока ссуды.

6. В чем сущность британской практики начисления простых процентов?

а) в использовании обыкновенных процентов и приближенного срока ссуды;

б) в использовании точных процентов и приближенного срока ссуды;

в) в использовании точных процентов и точного срока ссуды;

г) в использовании обыкновенных процентов и точного срока ссуды.

7. Укажите формулу расчета наращенной суммы, когда применяется
простая ставка, дискретно изменяющаяся во времени:

а)

б)

в)

г)

8. Укажите формулу расчета наращенной суммы в операции с реинвестированием под дискретно изменяющуюся простую ставку процентов:

а)

б)

в)

г)

9. Укажите формулу математического дисконтирования в случае применения простой процентной ставки:

а) Р=S(1+ni)‾¹;

б) S=P (1-ni);

в) S=P (1-dn);

г) P=S (1-dn).

10. Укажите формулу банковского учета по простой учетной ставке:

a) P=S(1+ni)‾ 1;

б) S=P(1-ni);

в) S=P(1-dn);

г) P=S(1-dn).

1.2. Сложные проценты

1.2. Сложные проценты

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присое­диняются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют ка­питализацией процентов.

1.2.1. Формула наращения по сложным процентам

Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), че­рез 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через п лет - P(1+i)". Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов:

S=P(1+i)n, (2.1)

где: S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, п – срок ссуды, (1+i)" - множитель наращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы вре­мени (год, полугодие, квартал и т. д.). Наращение по сложным процен­там представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель (1+i).

Отметим, что при сроке п<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при п>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наи­большее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается при n=1/2.

1.2.2. Формула наращения по сложным процентам,

когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во вре­мени, формула наращения имеет следующий вид:

(2.2)
где i, i2..... ik- - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n, п2, ..., пk соответственно.

Пример 6.

В договоре зафиксирована переменная ставка сложных про­центов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину мно­жителя наращения за 4 года.

Решение.

(1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704

1.2.3. Формула удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Ответ получим приравняв множитель наращения величине N:

а) для простых процентов:

откуда

(2.3)

б) для сложных процентов:

(2.4)

Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (2.3) и (2.4) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов:

(2.5)

б) для сложных процентов:

(2.6)

Если формулу (2.5) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (2.6) требует применения калькулятора. Однако при не­больших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно ис­пользовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 ≈ 0,7, a ln (1+i) ≈ i. Тогда:

п ≈ 0,7/i (2.7)

Пример 7.

Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 3%. Для ставки сложных про­центов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Ре­зультаты сравнить.

Решение:

а) при простых процентах:

б) при сложных процентах и точной формуле:

года

в) при сложных процентах и приближенной формуле:

n ≈ 0,7/i = 0,7/0,03 ≈ 23,33 года

Выводы:

Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

1.2.4. Начисление годовых процентов при дробном числе лет

При дробном числе лет проценты начисляются разными спосо­бами:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+i)n. (2.8)

2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число
лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые:

S=P(1+i)a(1+bi), (2.9)

где n=a+b, a - целое число лет, b - дробная часть года.

3) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с
которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.