Таблица 3. 2 – Координаты вектора в зависимости от задания поверхности (стр. 6 )

.

Теорема 2 (дифференцирование по параметру) Пусть 1) функции и непрерывны на прямоугольнике и ; 2) функции , непрерывно-дифференцируемы на отрезке . Тогда интеграл является дифференцируемой функцией на и справедлива формула

Теорема 3 (интегрирование по параметру) Пусть функция непрерывна на прямоугольнике .

Тогда интеграл является интегрируемой функцией и справедливо равенство

.

Тема 2 Несобственные интегралы, зависящие от параметра

2.1 Определение несобственных интегралов, зависящих от параметра

2.2 Поточечная и равномерная сходимость

2.3 Признаки равномерной сходимости

2.4 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

2.1 Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

Пусть функция определена на множестве

.

И пусть функция удовлетворяет условиям:

1) ( может быть конечным или бесконечным);

2) для любого функция интегрируема по переменной на каждом отрезке , где .

Если конечно, то есть несобственный интеграл от неограниченной функции; если бесконечно, то есть несобственный интеграл c бесконечным верхним пределом.

Не ограничивая общности, будем рассматривать случай .

Несобственным интегралом, зависящим от параметра, называется интеграл вида

,

где переменная называется параметром.

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы, зависящие от параметра :

, .

2.2 Поточечная и равномерная сходимость

Несобственный интеграл, зависящий от параметра , называется сходящимся (поточечно), если и существует конечный предел :

:

.

Поточечная сходимость несобственного интеграла , зависящего от параметра определяет сходимость его при каждом фиксированном как несобственного.

Поскольку

,

то для сходящегося интеграла справедливо равенство

.

Несобственный интеграл, зависящий от параметра, называется равномерно сходящимся по параметру на множестве, если для любого существует такое , , что для всех и всех , , выполняется неравенство :

: и

.

Обозначим , где . Тогда интеграл равномерно сходится, когда при .

Теорема 1 (критерий Коши) Для того чтобы несобственный интеграл сходился равномерно по параметру на множестве ℝ, необходимо и достаточно, чтобы такое, что и выполнялось неравенство