Таблица 3. 2 – Координаты вектора в зависимости от задания поверхности (стр. 7 )

.

Следствие. Если такое, что и такие, что

,

то интеграл нe сходится равномерно по параметру на множестве.

2.3 Признаки равномерной сходимости

Теорема 2 (Вейерштрасса) Пусть существует функция , удовлетворяющая условиям:

1) определена на и интегрируема на , ;

2) для и ;

3) сходится.

Тогда интеграл сходится абсолютно и равномерно на .

Пусть интеграл (равномерно) сходится на множестве . И пусть последовательность , , , , сходится к . Тогда последовательность функций (равномерно) сходится на множестве к функции .

Теорема 3 (Дирихле) Пусть

1) функции , и непрерывны как функции на полуинтервале ;

2) функция , являющаяся при любом первообразной по функции , ограничена при , ;

3) при , и ;

4) существует непрерывная на функция такая, что и для и .

Тогда интеграл

сходится равномерно по параметру на множестве .

2.4 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

Теорема 4 (непрерывность) Пусть функция непрерывна на конечном или бесконечном прямоугольнике

,

а интеграл равномерно сходится по параметру на отрезке . Тогда интеграл является непрерывной функцией переменной на отрезке и справедлива формула

.

Теорема 5 (интегрирование по параметру) Пусть функция непрерывна на конечном или бесконечном прямоугольнике , а интеграл сходится равномерно по параметру на отрезке . Тогда функция является интегрируемой на и существует интеграл .

Теорема 6 (о перестановке порядка интегрирования) Пусть функция непрерывна на множестве и выполнены следующие условия:

1) несобственный интеграл сходится равномерно по параметру на любом отрезке ;

2) несобственный интеграл сходится равномерно по параметру на любом отрезке ;

3) один из двух повторных интегралов

,

сходится. Тогда сходятся оба повторных интеграла , и справедливо равенство

.

Теорема 7 (дифференцирование по параметру) Пусть функции и непрерывны на конечном или бесконечном прямоугольнике , а интеграл равномерно сходится на отрезке . Тогда интеграл является дифференцируемой на отрезке функцией и справедливо равенство