Практические занятия по дисциплине Квантовая механика

Практические занятия по дисциплине Квантовая механика

Задачи по дисциплине Квантовая механика взяты из , , Форш по квантовой механике для химиков: Учебное пособие. – М. Физический факультет МГУ, 2010. – 154 с., ил.

Практическое занятие № 1.

Тема: Операторы в квантовой механике. Коммутационные соотношения

Задача 1. Проверить линейность операторов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Решение. Чтобы определить является оператор линейным или нет, необходимо проверить удовлетворяет ли он условиям

Проверяя линейность оператора возведения в квадрат , подействуем им на сумму функций ψ и φ:

Таким образом, данный оператор линейным не является.

Все остальные операторы линейны. Действительно,

Задача 2. Показать, что операторы координат коммутируют между собой.

Решение. Рассмотрим, например, коммутатор и подействуем им на функцию ψ . Получим:

откуда заключаем, что

Задача 3. Показать, что операторы проекций импульса коммутируют

между собой.

Решение. Рассмотрим, например, операторы . Имеем:

Поскольку смешанные производные равны, то

Задача 4. Найти коммутатор .

Решение. Действуя оператором на функцию ψ, находим:

или

Задача 5. Доказать тождество

Решение. По определению

В правую часть равенства добавим и вычтем оператор . Получим

Практическое занятие № 2.

Тема: Волновая функция. Среднее значение и дисперсия физических величин

Задача 1. Показать, что необходимым и достаточным условием вещественности среднего значения величины F является эрмитовость (самосопряженность) ее оператора

Решение. Докажем сначала достаточность, т. е. докажем вещественность среднего значения F, считая эрмитовым оператором. Пользуясь определениями среднего значения и эрмитова оператора, имеем:

Теперь перейдем к доказательству необходимости. Пусть . Обозначим посредством среднее значение величины F в состоянии ψ, а посредством - среднее значение величины F в состоянии φ, т. е.

Рассмотрим функцию , где λ – произвольное комплексное число, C – константа, позволяющая нормировать функцию Ψ на 1. Среднее значение величины F в состоянии ψ есть

(1)

Перейдем к комплексно-сопряженному выражению для , учитывая, что

Вычитая из данного равенства равенство (1), получаем:

(2)

Поскольку равенство (2) должно выполняться при произвольных λ , то оба выражения в скобках должны по отдельности равняться нулю:

Следовательно,

Задача 2. Найти связь между средними значениями координаты и импульса двух частиц, волновые функции которых Ψ1 и Ψ2 связаны соотношением

Решение. Среднее значение координаты первой частицы

Учитывая полученное соотношение, найдем среднее значение координаты второй частицы:

Для среднего значения импульса первой частицы имеем:

Тогда среднее значение импульса второй частицы

Практическое занятие № 3.

Тема: Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z, который в сферических координатах имеет вид

где φ – полярный угол.

Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции в данном случае запишется как

Это дифференциальное уравнение первого порядка, решением которого является функция

где C– некоторая константа. Для того чтобы функция ψ(φ) была однозначной необходимо выполнение условия

т. е.

Откуда

При этом

Таким образом, спектр оператора дискретный и невырожденный. Константу C находим из условия нормировки:

Получаем

и, следовательно, собственные функции

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса

Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции имеет вид:

Отсюда

(1)

где C – нормировочная константа. Решение (1) удовлетворяет требованиям однозначности, непрерывности и ограниченности при любом действительном значении px, то есть оператор обладает непрерывным спектром.

Для определения константы C воспользуемся условием :

(2)

Преобразуем правую часть (2), используя интегральное представление δ - функции. Имеем:

Сравнивая данное выражение с (2), находим:

откуда

Таким образом, собственными функциями оператора проекции импульса на ось x являются функции

Задача 3. Найти собственные функции оператора координаты

Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции оператора есть

(1)

Здесь посредством r0 обозначены конкретные значения координаты в отличие от переменной r. Видно, что при r0≠r функция ψ(r) должна быть равна нулю, а при r0=r функция ψ(r) не определена. Из (1) следует:

(2)

Под dr в последнем равенстве понимается элемент объема dr = dxdydz. Решение уравнения (2) можно представить в виде

где C – нормировочная константа, которую определяем из условия (спектр оператора координаты очевидно является непрерывным):

Имеем:

откуда следует, что C =1.

Таким образом, собственные функции оператора суть

(3)

Функции (3) являются обобщенными функциями и не принадлежат к классу рассматривавшихся до сих пор классических функций.

Практическое занятие № 4.

Тема: Уравнение Шредингера. Изменение квантовых состояний во времени

Задача 1. Построить гамильтониан атома гелия

Решение. Пусть M1 – масса каждого из двух электронов, а M2 – масса ядра атома гелия. Радиус-вектор ядра обозначим посредством R, а радиусы-векторы электронов – посредством r1 и r2 . Потенциальная энергия системы будет складываться из энергий взаимодействий электронов с ядром и друг с другом (заряд ядра Z = 2):

где e - заряд электрона.

В соответствии с гамильтониан атома гелия имеет вид

Задача 2. Доказать, что для средних значений координаты и импульса частицы массы M выполняется соотношение

Решение. Продифференцируем выражение для среднего значения координаты

(1)

по времени:

(2)

Из следует, что комплексно-сопряженная функция Ψ* удовлетворяет уравнению

(3)

Выражая производные в (2) с помощью и (3), имеем:

(4)

Пользуясь тем, что оператор эрмитов, перепишем (4) в виде

(5)

Используя выражение для гамильтониана и учитывая, что найдем:

(6)

С учетом (6) из (5) получаем:

что и требовалось доказать.

Практическое занятие № 5.

Тема: Одномерное движение. Непрерывный спектр

Задача 1. Найти значения энергии и волновые функции стационарных состояний одномерного свободного движения частицы массы М.

Решение. Поскольку движение свободное, то и из уравнения имеем:

Частные решения этого уравнения можно записать в виде

(1)

где C1,2 - произвольные константы, а представляет собой импульс частицы вдоль оси движения x.

Решение соответствует частице, движущейся вправо (ось x считаем направленной вправо), а решение описывает частицу, движущуюся влево. Таким образом, стационарные состояния c энергией E будут двукратно вырождены.

Решения (1) будут однозначными, непрерывными и ограниченными при любых действительных значениях импульса px, а следовательно, и при любых действительных значениях E>0. Это означает, что спектр свободного движения частицы является непрерывным.

С учетом нормировочной константы волновая функция для свободной частицы, движущейся вправо, запишется в виде:

Эта функция также является собственной функции оператора проекции импульса . Данный факт есть следствие возможности одновременного измерения кинетической энергии свободной частицы и ее импульса (операторы коммутируют).

Задача 2. Найти коэффициент отражения частицы, налетающей на “потенциальную ступеньку”

Энергия частицы E0 < U

Решение.

Обозначим область слева от ступеньки (x < 0) цифрой I и все решения для этой области будем отмечать индексом 1. Область справа от ступеньки (x > 0) обозначим цифрой II и будем отмечать соответствующие ей решения индексом 2.

Уравнение Шрёдингера для частицы в таком силовом поле имеет вид:

Введем обозначения

и запишем уравнения Шрёдингера для областей I и II в новых обозначениях:

Решениями данных уравнений являются

Первое слагаемое в волновой функции описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x из −∞ к ступеньке, т. е. слева направо (падающая волна). Аналогично, второе слагаемое описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x в отрицательном направлении (отражённая волна).

Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в выражении для волновой функции неограниченно возрастает при x →+∞, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент A2 перед этим слагаемым был равен нулю.

В силу того, что потенциальная ступенька имеет конечную высоту, волновая функция на границе раздела областей I и II должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т. е. иметь непрерывную производную. Приравнивание волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название условий сшивания. В данном случае условия сшивания имеют вид

или

(1)

Уравнения (1) позволяют выразить коэффициенты B1 и B2 через коэффициент A1 – амплитуду падающей волны. Поскольку в подобных задачах все имеющие физический смысл величины, такие, например, как коэффициенты отражения, прохождения и т. д., выражаются через отношения коэффициентов B1 и B2 (или аналогичных им) к A1 , то без потери общности можно положить A1 = 1. При этом B1 и B2 для из (1) получаем:

Таким образом, волновые функции частицы равны:

Отметим, что система уравнений (1) имеет решения при любых значениях k1 и k2 , т. е. при любых значениях энергии E. Это означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром.

Найдем плотности потоков вероятности:

Где

Коэффициент отражения примет значение:

Полученный результат означает, что как и в классической механике, частицы со стопроцентной вероятностью отразятся от потенциальной ступеньки. Отличие от классического случая в данной задаче заключается в том, что частица с отличной от нуля вероятностью может оказаться в области II, т. е. под барьером. Действительно, волновая функция , а с ней и плотность вероятности нахождения частицы в области барьера , отличны от нуля и убывают по экспоненциальному закону с возрастанием x. Поэтому хоть отражение и является полным, оно не обязательно происходит на границе раздела областей I и II. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область II и затем выйти из нее/

Практическое занятие № 6.

Тема: Частицы в потенциальных ямах

Задача 1. Найти собственные значения энергии и собственные функции частицы, находящейся в потенциальной яме шириной a с бесконечно высокими стенками:

Решение. Внутри потенциальной ямы (0 < x < a ) уравнение Шрёдингера имеет вид

Его решение можно записать следующим образом:

где A и B – подлежащие определению константы.

Бесконечно высокие потенциальные стенки моделируют физическую ситуацию, в которой за счет сил отталкивания частица не может оказаться вне области 0< x < a. Поэтому волновая функция частицы в точках x = 0 и x = a должна обращаться в нуль. Из условия

ψ(0) =0

следует, что B = 0. Условие

ψ(a) = 0

приводит к равенству

sinka = 0,

откуда

ka =πn (n =1,2,3,...).

Значение n = 0 здесь отброшено, поскольку при этом волновая функция частицы тождественно равна нулю. Учитывая, что

находим собственные значения энергии частицы:

Таким образом, энергетический спектр частицы оказывается дискретным с бесконечным количеством уровней энергии. Число n, определяющее энергию частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение En – уровнем энергии.

Состояние частицы, в котором она обладает наименьшей энергией, называется основным состоянием. В данной задаче энергия основного состояния:

Все остальные состояния являются возбужденными: значение n = 2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение n = 3 – второму возбужденному состоянию и т. д.

Для определения константы A воспользуемся условием нормировки волновых функций дискретного спектра. Имеем:

Отсюда

и, следовательно, нормированные волновые функции частицы

Волновые функции первых трех состояний схематично показаны на рисунке.

Задача 2. Найти дисперсии координаты x и импульса p в случае частицы, находящейся в потенциальной яме шириной a с бесконечно высокими стенками.

Решение. Используя определение среднего значения, и учитывая, что волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеет вид показанный на рисунке, находим:

Дисперсия координаты

Теперь найдем, что

и, значит,

Практическое занятие № 7.

Тема: Гармонический осциллятор

Задача 1. Найти собственные значения энергии и волновые функции гармонического осциллятора.

Решение. Поскольку при x → ±∞ потенциальная энергия обращается в бесконечность, то частица будет совершать финитное движение, а следовательно, энергетический спектр осциллятора является дискретным.

Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид:

Введем вместо координаты x безразмерную переменную

(1)

где x0 – некоторая величина, задающая масштаб координаты

(2)

В результате получим дифференциальное уравнение

(3)

Для больших значений ξ (ξ → ±∞ ) асимптотическими решениями данного уравнения являются функции . В этом можно убедиться прямой подстановкой. Действительно,

Здесь мы учли, что ξ2 >>1 при ξ → ±∞ . Теперь, пренебрегая в (3) членом по сравнению с ξ2, получаем тождество:

Поскольку нас интересуют только конечные решения, экспонента со знаком плюс в показателе должна быть отброшена. Таким образом, решение уравнения (3) ведет себя при ξ → ±∞ как В связи с этим при произвольном ξ будем искать решение в виде

(4)

Подставляя (4) в (3), получаем:

(5)

где введено обозначение

(6)

Из требования конечности ψ следует, что функция f(ξ) должна быть конечной при всех конечных значениях ξ . Поскольку движение частицы финитное, то на бесконечности волновая функция (4) должна обращаться в нуль. Удовлетворяющие указанным выше условиям решения уравнения (5) существуют лишь при

λ = 2n (n= 0,1,2,...).

Из (6) следует, что собственные значения энергии при этом равны

(7)

Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантны, т. е. расстояния между любыми соседними уровнями одинаковы и равны

Можно отметить следующие отличия энергетического спектра квантового осциллятора от классического:

1. энергетический спектр квантового осциллятора является дискретным, т. е. в отличие от классического случая частица не может иметь произвольные значения энергии;

2. энергия основного состояния квантового осциллятора отлична от нуля и

равна ;

3. энергия квантового осциллятора в отличие от классического зависит от частоты, а не от амплитуды, которая в квантовой теории вообще не определена.

Собственными функциями уравнения (5) являются полиномы Эрмита, определяемые формулой

В соответствии с (4) собственные функции осциллятора имеют вид:

(8)

где Cn – нормировочные постоянные.

Функции (8) выражены через безразмерную переменную ξ . Возвращаясь к переменной x, находим:

Так как спектр гармонического осциллятора является дискретным, собственные функции ψn должны быть нормированы на единицу, т. е.

Получаем

Таким образом, волновые функции гармонического осциллятора

Поскольку каждому значению энергии En соответствует только одна волновая функция ψn, то уровни энергии осциллятора являются невырожденными.

Практическое занятие № 8.

Тема: Элементы теории момента импульса

Задача 1. Найти следующие коммутаторы:

Решение. а) Используя правила раскрытия коммутаторов, имеем:

(1)

Второй и третий из четырёх членов в правой части (1) оказываются равными нулю, поскольку оператор координаты и оператор проекции импульса на другую координату коммутируют между собой, а также коммутируют друг с другом операторы проекций импульса.

Найдем теперь значения первого и последнего членов в правой части равенства (1):

(2)

(3)

В равенствах (2) и (3) мы учли, что

Таким образом, окончательно получаем:

(4)

Аналогично получаем для б и в

Это доказывает, что операторы проекций момента импульса на разные координаты не коммутируют друг с другом.

Задача 2. Показать, что каждый из операторов проекций момента импульса коммутирует с оператором квадрата момента импульса.

Решение. Рассмотрим, например, коммутатор

Коммутаторы, стоящие в правой части этого выражения, равны:

Следовательно,

Аналогично можно показать, что

Задача 3. Вычислить коммутаторы:

Решение.

Практическое занятие № 9.

Тема: Стационарная теория возмущений

Задача 1. Найти общий вид поправок к волновой функции и энергии в первом порядке теории возмущений

Решение. Подставляя и в стационарное уравнение Шрёдингера , получим

(1)

Ограничимся в (1) членами, порядок малости которых не превышает первого, т. е. членами, содержащими Тогда из (1) имеем:

Отметим, что члены содержат по два множителя первого порядка малости, являясь, тем самым, членами второго порядка малости, и, следовательно, ими также надо пренебречь. Принимая также во внимание уравнение Шрёдинегра для невозмущенной системы , получим:

(2)

Волновую функцию будем искать в виде разложения по собственным функциям невозмущенного оператора :

(3)

Подставим (3) в (2), умножим полученное равенство на и проинтегрируем по всему пространству. Уравнение (2) в этом случае примет вид:

(4)

Отсюда для m=n получаем:

(5)

а для m≠n:

где

представляет собой матричный элемент оператора по невозмущенным волновым функциям (оператор предполагается эрмитовым, т. е. ). Отметим, что равняется среднему значению «возмущения» в состоянии .

Уравнение (4), однако, не позволяет найти коэффициент , и нам придётся определить его из условия нормировки волновой функции :

Здесь штрих у знака суммы означает пропуск слагаемого с m=n или k=n. В силу ортонормированности функций все суммы во втором и третьем членах равны нулю. Отсюда получаем, что

Ограничиваясь первым порядком малости, мы должны пренебречь членом , который является величиной второго порядка малости. Отсюда получаем, что . Таким образом,

Задача 2. Показать, что поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.

Решение. Энергия основного состояния минимальна. Поэтому, если индекс n примет значение, отвечающее основному состоянию, то во всех слагаемых выражения

будет Поэтому, поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.

Практическое занятие № 10.

Тема: Контрольная работа

Текст контрольной работы расположен в папке фонды оценочных средств.