Вопросы к зачету по дисциплине квантовая механика.
1. Предпосылки квантовой механики. Квантование излучения абсолютно чёрного тела. Формула Планка. Квантовая теория Эйнштейна для фотоэффекта.
2. Предпосылки квантовой химии. Корпускулярно-волновой дуализм квантовых частиц. Квант действия и квантовая теория Бора для атома водорода.
3. Математический аппарат квантовой механики. Функционалы, вектора состояний, Гильбертовы пространства состояний квантовой частицы.
4. Математический аппарат квантовой механики. Линейный Эрмитов оператор в пространстве состояний квантовой частицы. Матричное представление оператора, собственные вектора и собственные значения оператора.
5. Постулаты нерелятивистской квантовой механики. Первый постулат о векторном представлении квантового состояния нерелятивистской частицы. Координатное представление волновой функции нерелятивистской частицы.
6. Постулаты нерелятивистской квантовой механики. Второй постулат об операторном представлении физических динамических наблюдаемых нерелятивистской частицы. Координатное представление операторов координат, импульса и гамильтониана изолированной нерелятивистской частицы.
7. Постулаты нерелятивистской квантовой механики. Третий постулат о функциональном представлении средних значений физических динамических наблюдаемых нерелятивистской частицы. Соотношение неопределённостей Гейзенберга для динамических наблюдаемых нерелятивистской частицы.
8. Постулаты нерелятивистской квантовой механики. Четвертый постулат о временной эволюции волновой функции нерелятивистской частицы. Временное уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Стационарные и нестационарные состояния изолированной нерелятивистской квантовой частицы.
9. Вычислить коэффициенты перевода эВ в кДж/моль и в см-1.
10. Определить длину волны света, инициирующего химическую реакцию с энергией активации в 125 кДж/моль.
11. Найти кинетическую энергию фотоэлектрона, эмитирующего из лития (пороговая длина волны фотоэффекта – 520 нм) при поглощении излучения с длиной волны 360 нм.
12. Найти длину волны излучения, поглощение которого переводит атом водорода в первое возбуждённое состояние.
13. Найти длину волны границы серии Бальмера в спектре атомарного водорода.
14. Найти длину волны электрона с кинетической энергией 10 эВ, 100 эВ, 1 кэВ.
15. Найти длину волны молекулы водорода при 300 К.
16. Сравнить длину волны атомов гелия с межатомным расстоянием в жидком гелии при температуре 0.01 К (плотность жидкого гелия – 150 кг/м3).
17. На основании принципа неопределённости Гейзенберга найти минимальную энергию свободного движения электрона в одномерном канале длиной в 1 нм, 1 мкм.
18. На основании принципа неопределённости Гейзенберга найти энергию основного состояния одномерного гармонического осциллятора в виде электрона, запёртого в одномерном канале длиной 1 нм энергетическим барьером в 4 эВ.
19. Найти результат действия оператора кинетической энергии частицы на волновую функцию Φ(x)=A∙exp(ikx).
20. Доказать линейность или нелинейность операторов: d/dx, d3/dx3, ln(d/dx), д2/дхдy, sin(ln(xd/dx)), xd/dx.
21. Оператор F = (i – id/dx). Найти операторы F2, F*, FF*.
22. Найти эрмитово сопряжённый оператор F+ для F = 1 – id/dx.
23. Вычислить коммутаторы [–d/dx, cos(kx)]; [id/dx, eikx].
24. Найти коммутаторы [Lx, x]; [Lx, y].
25. Показать, что функция Ф = x∙exp(–ax2) является собственной функцией оператора d2/dx2– 4a2x2, и найти её собственное значение.
26. Доказать, что <(x – <x>)2> = <x2> – <x>2.
27. Вычислить среднее значение координаты <x> и её дисперсии <(x – <x>)2> для основного состояния частицы в яме с бесконечно высокими стенками.
28. Вычислить среднюю кинетическую энергию электрона в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 1 нм в основном состоянии.
29. Нерелятивистская квантовая модель одномерного гармонического осциллятора (ГО). Квантовый спектр энергии ГО. Вид волновых функций стационарных состояний ГО. Квантовые числа.
30. Нерелятивистская квантовая свободной частицы (СЧ) в полости. Квантовый спектр энергии СЧ в полости. Вид волновых функций стационарных состояний СЧ в полости. Квантовые числа.
31. Нерелятивистская вероятностная трактовка волновой функции, плотность вероятности и плотность тока вероятности нахождения нерелятивистской квантовой частицы в физическом пространстве.
32. Угловой момент вращения квантовых частиц в физическом пространстве. Нерелятивистский оператор орбитального углового момента и релятивистский оператор спинового углового момента.
33. Нерелятивистская квантовая модель жёсткого сферического ротатора. Квантовый спектр энергии и вид волновых функций стационарных состояний жёсткого сферического ротатора. Квантовые числа. Кубические гармоники.
34. Нерелятивистская квантовая модель водородоподобного атома (Кулоновский центр). Разделение радиальной и угловых переменных. Вид волновых функций стационарных состояний Кулоновского центра – атомных орбиталей (АО). Радиальные и угловые распределения плотности вероятности локализации частицы АО. Квантовые числа АО. Гибридизованные атомные орбитали.
35. Нерелятивистская квантовая модель водородоподобного атома (Кулоновский центр). Квантовый спектр энергии стационарных состояний. Кратность вырождения квантовых чисел стационарных состояний Кулоновского центра и её связь с орбитальным, подоболочечным, оболочечным строением водородоподобных атомов.
36. Нерелятивистская квантовая модель молекулярного иона водорода Н2+. Разделение переменных. Вид волновых функций стационарных состояний молекулярных орбиталей (МО). Предельные случаи изолированных атомов и объединённого атома. Молекулярные диаграммы. Радиальные и угловые распределения плотности вероятности МО локализации частицы. Квантовые числа МО.
37. Нерелятивистская квантовая модель молекулярного иона водорода Н2+. Пространственная симметрия и квантовые числа молекулярных орбиталей (МО) иона водорода Н2+. Спектр энергии МО стационарных состояний Н2+.
38. Приближённые методы квантовой механики. Вариационный принцип. Вариационный метод Ритца. Общая алгоритмическая схема вариационного метода Ритца. Секулярное уравнение метода Ритца для нахождения спектра энергий стационарных состояний квантовой частицы.
39. Приближённые методы квантовой механики. Применение вариационного метода Ритца. в задаче нахождения спектра энергий и вида МО молекулярного иона водорода Н2+ в представлении линейной комбинации АО (метод МО ЛКАО).
40. Приближённые методы квантовой механики. Стационарная теория возмущения. Первая и вторая поправки энергий, а также первая поправка вида волновых функции стационарных состояний квантовой частицы.
Приближённые методы квантовой механики. Временная теория возмущения. Расчёт вероятностей переходов под действием возмущений из исходного стационарного состояния изолированной частицы. Временное соотношение неопределённостей. Время жизни и ширина энергетического уровня частицы.
41. Приближённые методы квантовой механики. Временная теория возмущения. Расчёт вероятностей переходов под действием периодического во времени возмущений. Формула Планка. Формула «Золотого правила Ферми».
42. Приближённые методы квантовой механики: вариационный принцип. Вариационный метод Ритца.
43. Нерелятивистская квантовая модель водородоподобного атома (Кулоновский центр). Квантовый спектр энергии стационарных состояний. Кратность вырождения квантовых чисел стационарных состояний Кулоновского центра и её связь с орбитальным, подоболочечным, оболочечным строением водородоподобных атомов.
44. Доказать, что функции Ф0 = (2а/π)1/2exp(–ax2), где а = (1/2ħ)(k/m)1/2, является решением уравнения Шредингера для основного состояния гармонического осциллятора.
45. Вычислить приведённую массу и силовую постоянную (в Н/м) молекулы H35Cl, если основная частота её колебаний равна 2989 см–1 в волновых числах.
46. Найти отношения основных частот изотопозамещённых молекул H2, HD, D2 в предположении равенства силовых постоянных их химических связей.
47. Вычислить сдвиг основных частот колебаний для радикалов H16O, D16O, H18O в предположении равенства силовых констант их химических связей.
48. Вычислить момент инерции молекулы H35Cl по длине её химической связи – 0,128 нм.
49. Определить минимальную разрешающую способность микроволнового спектрометра в см–1, с помощью которого можно разделить полосы поглощения вращательного спектра изотопозамещённых молекул 12С16О, 11С18О.
50. Найти отношение энергий первого возбуждённого вращательного состояния молекул Н2, HD, D2 в предположении равенства длин их химических связей.
51. Определить температуру в К, при которой молекулярные радикалы •ОН переходят в первое возбуждённое вращательное состояние с длиной связи – 0,097 нм.
52. В микроволновом спектре фтороводорода наблюдались полосы поглощения, сдвиг между линиями в которых составил 42,1 см–1, определить длину связи в молекуле.
53. Найти вероятность нахождения электрона в сфере боровского радиуса 1 а0, в сферическом слое от 1 а0 до 2 а0 в основном состоянии атома водорода.
54. Найти вероятность нахождения мюона в сфере боровского радиуса 0,1 а0, в сферическом слое от 0,1 а0 до 0,2 а0 в основном состоянии атома мюония.
55. Найти наиболее вероятные расстояния от ядра для электрона в состояниях 1s, 2p, 3d в атоме водорода. Какие выводы можно сделать из расчёта?
56. Найти среднее расстояние от ядра для электрона в состояниях 1s, 2p, 3d атома водорода.
57. Проверить является ли кубическая гармоника px собственной функцией оператора проекции углового момента Lz и квадрата углового момента L2.
58. В какой области электромагнитного спектра будет наблюдаться излучение мюонных водородоподобных ионов с ядром лития?
59. Записать условия нормировки и ортогональности спиновых функций электрона α(σ) и β(σ).
60. Доказать, что линейная комбинация С1α(σ) + С2β(σ) – собственная функция оператора квадрата спинового углового момента S2, но не оператора его проекции Sz.
