Контрольные работы по теории вероятностей (стр. 8 )

Вариант 56

1. На книжной полке стоят 12 книг. Случайно выбираются 5 из них. Какова вероятность того, что никакие две из них не стоят рядом?

2. Случайная точка брошена в квадрат со стороной . Найти вероятность того, что расстояние от до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от до ближайшей диагонали квадрата.

3. Предположим, что вам задают вопрос, на который вы должны ответить либо "да" (ставите 1 событие ), либо "нет" (ставите 0 событие ). По определенным соображениям вам не хочется отвечать правдиво и тогда применяют технику рандомизированного ответа (как безопасную для вас). Именно, проводят случайный эксперимент с исходами и , результат которого опрашиваемому не сообщают. Пусть которая неизвестна, и , которая известна. Если наступает событие то отвечающий дает правдивый ответ, если наступает событие то опрашиваемый отвечает наоборот, т. е. ставит 1, если имеет место событие , и 0, если имеет место событие . Обозначим вероятность исхода 1 через Вместо нам известна её оценка в виде частоты но мы примем . Найдите Подсчитайте ее значение, если , .

4. Пусть событие, состоящее в том, что произойдет в точности два события из трех событий . Покажите, что тогда

.

5. Вероятность того, что студент первого курса перейдет на второй курс равна 0.9, а вероятность успешного окончания университета равна 0.8. Какова вероятность того, что студент второго курса окончит университет?

6. Вероятность обращения клиента в страховую компанию в течение года для первого клиента равна 0.19, для второго 0.24, для третьего клиента 0.18. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих клиентов обратится в страховую компанию, если данные события являются независимыми в совокупности.

7. Инвестор вложил поровну средства в 5 предприятий при условии возврата ему через определенный срок 125% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0.25. Какова вероятность того, что инвестор в конце срока останется в убытке?

Вариант 57

1. По пустыне идет караван из 7 верблюдов. Через несколько дней им надоедает видеть одного и того же верблюда прямо перед собой и в определенный момент они перестраиваются в случайном порядке. Какова вероятность того, что перед каждым из них будет другой верблюд?

2. Стороны прямоугольника наудачу взятые отрезки, длина каждого из которых не превосходит 2.

Какова вероятность того, что площадь прямоугольника не превзойдет 1?

3. Предположим, что вам задают вопрос, на который вы должны ответить либо "да" (ставите 1 событие ), либо "нет" (ставите 0 событие ). По определенным соображениям вам не хочется отвечать правдиво и тогда применяют технику рандомизированного ответа (как безопасную для вас). Именно, проводят случайный эксперимент с исходами и , результат которого опрашиваемому не сообщают. Пусть которая неизвестна, и , которая известна. Если наступает событие то отвечающий ставит 1, если наступает событие то опрашиваемый ставит отвечает правдиво. Обозначим вероятность исхода 1 через Вместо нам известна её оценка в виде частоты но мы примем . Найдите Подсчитайте ее значение, если , .

4. Покажите, что

.

5. Найдите условную вероятность того, что при бросании трех игральных костей хотя бы на одной из них выпадет 5 очков, если известно, что на всех костях выпали грани с нечетным числом очков.

6. Для сигнализации об аварии установлено 3 независимо работающих прибора. Вероятность того, что сработает первый прибор, равна 0.9, вероятность того, что сработает второй прибор, равна 0.95, вероятность того, что сработает третий прибор, равна 0.85. Какова вероятность того, что сработает хотя бы один прибор?

7. Вероятность появления некоторого события в каждом из 10 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере два раза.

Вариант 58

1. Из 7 шаров наудачу выбирают 5 шаров. Какова вероятность того, что их номера образуют возрастающую последовательность, если: а) выбор производится без возвращения? б) выбор производится с возвращением?

2. Для сборки шарикоподшипника необходимо, чтобы между радиусом наружного кольца, радиусом внутреннего кольца и диаметром шариков существовало следующее соотношение: . Предполагая, что выбираются случайной и независимо соответственно из интервалов , найти вероятность сборки шарикоподшипника, если

3. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наудачу берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наудачу берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

4. Пусть событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы два события из трех событий . Покажите, что тогда .

5. На окружности единичного радиуса случайно выбирается точка. Пусть и это абсцисса и ордината этих точек, событие событие . Найти условную вероятность .