Расчет плоских ферм (стр. 2 )

Из (2.7) имеем S2 = хА – S1 × cos g = 3,25 + 3,35 × 0,6 = 5,24 кН.

Рассмотрим узел В. На него действуют три силы: S1, S3, S4 (рис. 2.2, б). Составим уравнения равновесия:

(2.9)

(2.10)

Из (2.9) имеем

Из (2.10) имеем кН.

Рассмотрим узел F. На него действуют пять сил (рис. 2.2, в). Составим уравнения равновесия:

(2.11)

(2.12)

Из (2.12) имеем S5 = 1,88 кН.

Из (2.11) имеем

Рассмотрим узел С. На него действуют пять сил: S4, S5, S7, S9 и Р2 (рис. 2.2, г). Составим уравнения равновесия:

(2.13)

(2.14)

Из (2.13) имеем

S9 = – 3,65 кН.

Из (2.14) имеем

Рассмотрим узел D. На него действуют три силы: S8, S9, RD (рис. 2.2, д). Достаточно одного уравнения, чтобы определить усилие S8:

(2.15)

Из (2.15) имеем

Итоговые результаты занесены в табл. 2.1.

2.2.2. Графический метод

Начинать вырезание узлов необходимо с того узла, в котором сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями.

В соответствии с геометрическими условиями равновесия системы сходящихся сил силовой многоугольник, построенный из этих сил, должен быть замкнут.

Начнем вырезание с узла А (рис. 2.3, а). В нем усилия двух стержней 1 и 2 неизвестны. Рассмотрим равновесие узла А под действием силы реакции в точке А и сил реакций стержней 1 и 2. Выберем масштаб построения сил в силовом многоугольнике, например, в 1 см 1 кН.

Рис. 2.3. Силовые многоугольники для узлов

Строим в выбранном масштабе реакции уА и хА и проводим из начала вектора уА линию, параллельную стержню 2 (или 1), а из конца вектора хА – линию, параллельную стержню 1 (или 2). Получим замкнутый силовой четырехугольник, в котором стороны четырехугольника, параллельные стержням 1 и 2, представляют собой усилия в стержнях 1 и 2 по модулю и направлению (рис. 2.3, а).

Далее вырежем узел В. На него действуют три силы: найденная S1 и искомые силы реакций S3 и S4. Силу S1 строим, обязательно изменяя полученное направление на противоположное. Затем из конца и из начала силы S1 проводим линии, параллельные стержням 2 и 4. Получим замкнутый силовой треугольник, в котором стороны треугольника, параллельные стержням 3 и 4, представляют собой усилия в стержнях 3 и 4 по модулю и направлению (рис. 2.3, б).

Аналогичным образом вырезаем все остальные узлы, причем в последнем узле все силы уже известны и он является проверочным. Знак усилия в стержне определяется по тому, будет ли направлен этот вектор к узлу или от него. Если вектор направлен к узлу, то усилие считается сжимающим и присваиваем знак «минус», если от узла – растягивающим, присваиваем знак «плюс». Результаты измерений приведены в табл. 2.1.

Т а б л и ц а 2.1. Значение усилий в стержнях, найденные графически

и аналитически

Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Графи-чески	–3,35	5,20	2,70	–2,00	1,90	3,90	–1,00	2,20	–3,65
Аналитически	–3,35	5,24	2,68	–2,01	1,88	3,92	–1,00	2,19	3,65

2.3. Расчет фермы способом сечений

Разрежем ферму сечением на две части по стержням 4, 5 и 6. Рассмотрим равновесие левой части (можно и правой) под действием внешних сил, сил реакций в опоре А и реакций перерезанных стержней (рис. 2.4).

Силы реакций прямоугольных стержней направляем от узлов к линии разреза, считая, что стержни работают на растяжение.

На рассматриваемую часть фермы действует произвольная плоская система сил, для которой можем составить три уравнения равновесия в одной из трех форм и тем самым определить три неизвестных усилия в стержнях. Поэтому сечение необходимо проводить так, чтобы оно пересекало не более трех стержней, усилия в которых неизвестны.

Форму уравнений равновесия при этом можно выбирать любую, но удобнее такую, чтобы из каждого уравнения равновесия можно было бы сразу определить одно из неизвестных усилий в стержне.

Рис. 2.4. Расчетная схема к способу сечений

Такими уравнениями являются, как правило, суммы моментов силы относительно точек, где пересекаются линии действия сил реакций двух стержней, усилия в которых неизвестны. Из этого уравнения можно определить силу реакции третьего стержня. Если два стержня, усилия в которых неизвестны, параллельны, то удобно составить сумму проекций всех сил, действующих на выделенную часть фермы, на ось, перпендикулярную этим двум стержням, – найдем сразу усилие в третьем стержне.

В выделенной части фермы удобно составить суммы моментов всех сил относительно точек С (пересекаются линии действия неизвестных сил S4 и S5) и F (пересекаются линии действия сил S5 и S6) и сумму проекций всех сил на ось у, перпендикулярную двум неизвестным параллельным силам S4 и S5. Из каждого составленного уравнения можно будет определить по одному неизвестному усилию в стержне.

Составим уравнения равновесия:

(2.16)

. (2.17)

. (2.18)

Из (2.16) имеем

S6 = 3,92 кН.

Из (2.17) имеем S4 = –2,01 кН.

Из (2.18) имеем S5 = 1,88 кН.

Этот способ удобен, когда нужно найти усилие в каком-нибудь одном или двух стержнях, при этом нет необходимости находить усилия в других стержнях.

3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для приобретения студентами навыков расчета плоских ферм составлены перечисленные ниже индивидуальные задания.

В соответствии с ними необходимо выполнить нижеперечисленные пункты.

1. Определить опорные силы реакций внешних связей, удерживающих ферму в равновесии.

2. Способом вырезания узлов графически и аналитически найти усилия во всех стержнях фермы.

3. Способом сечений фермы проверить значения усилий в стержнях, полученных способом вырезания. Необходимо сделать два сечения по трем стержням. В тех случаях, когда второе сечение по трем стержням невозможно, надо сделать сечение по четырем стержням, считая усилия в одном из них известным (значение усилия взять из аналитического расчета методом вырезания узлов). Расчетные схемы ферм приведены в прил. 1, исходные данные – в прил. 2.

Примечание. На схемах неподвижная и подвижная опоры изображены для первого варианта. Для остальных вариантов положение опор указано в 1-м и 2-м столбцах прил. 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Т а р г, С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. – М.: Высш. шк., 2010. – 416 с.

2. Б у т е н и н, Н. В. Курс теоретической механики: в 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – М.: Лань, 2009. – Т. 1. – 736 с.