Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Дальневосточный государственный университет путей сообщения"
(ДВГУПС)
«УТВЕРЖДАЮ»
Председатель
приемной комиссии ДВГУПС,
профессор
________________
«_______» ___________20 __ г.
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ испытаний
в аспирантуру
по специальностИ
01.01.01
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Хабаровск
2014
Обсуждена на заседании кафедры «Высшая математика»
«19» февраля 2014 г., протокол № 6
Заведующий кафедрой _____________________
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
___________________ «____» ____________ 2014 г.
Начальник УАД
____________________ «____» ____________ 2014 г.
1. ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ КУРСА
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ »
Раздел 1. Действительный анализ
Меры, измеримые функции, интеграл. Аддитивные функции множеств (меры), счетная аддитивность мер. Конструкция лебеговского продолжения. Измеримые функции. Сходимость функций по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение интегралов Лебега и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини.
Неопределенный интеграл Лебега и теория дифференцирования. Дифференцируемость монотонной функции почти всюду. Функции с ограниченным изменением (вариацией). Производная неопределенного интеграла Лебега. Задача восстановления функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции. Теорема Радона–Никодима. Интеграл Стилтьеса.
Пространства суммируемых функций и ортогональные ряды. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства Lp, их полнота. Полные и замкнутые системы функций. Ортонормированные системы в L2 и равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам; стремление к нулю коэффициентов Фурье суммируемой функции в случае равномерно ограниченной ортонормированной системы.
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье. Условие сходимости ряда Фурье. Представление функций сингулярнымы интегралами. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд. Преобразование Фурье интегрируемых и квадратично интегрируемых функций. Свойство единственности для преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа. Преобразование Фурье—Стилтьеса.
Гладкие многообразия и дифференциальные формы. Касательное пространство к многообразию в точке. Дифференциальные формы на многообразии. Внешний дифференциал. Интеграл от формы по многообразию. Формула Стокса. Основные интегральные формулы анализа.
Основные интегральные формулы анализа.
Раздел 2. Комплексный анализ
Интегральные представления аналитических функций. Интегральная теорема Коши и ее обращение (теорема Мореры). Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши, его предельные значения. Формулы Сохоцкого.
Ряды аналитических функций. Особые точки. Вычеты. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций; теорема Вейерштрасса. Представление аналитических функций степенными рядами, неравенства Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности. Изолированные особые точки (однозначного характера). Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Принцип аргумента. Теорема Руше. Приближение аналитических функций многочленами.
Целые и мероморфные функции. Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг—Леффлера о мероморфных функциях с заданными полюсами и главными частями.
Конформные отображения. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Принцип сохранения области. Критерии однолистности. Теорема Римана. Теоремы о соответствии границ при конформных отображениях.
Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция (в смысле Вейерштрасса). Понятие Римановой поверхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Изолированные особые точки аналитических функций, точки ветвления бесконечного порядка. Принцип симметрии. Формула Кристоффеля—Шварца. Модулярная функция. Нормальные семейства функций, критерий нормальности. Теорема Пикара.
Гармонические функции. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Инвариантность гармоничности при конформной замене переменных. Бесконечная дифференцируемость. Теорема о среднем и принцип максимума. Теорема единственности. Задача Дирихле. Формула Пуассона для круга.
Раздел 3. Функциональный анализ
Возникновение функционального анализа как самостоятельного раздела математики; современное развитие функционального анализа и его связь с другими областями математики.
Топологические пространства. Определение, база, сепарабельность, предел, сходимость в топологических пространствах.
Метрические пространства. Задание топологии с помощью метрики. Примеры. Полные метрические пространства. Определение, примеры. Теорема о вложенных шарах. Теорема о пополнении. Приложение теоремы о пополнении к построению интеграла Лебега и лебеговских пространств.
Компактность в топологических и метрических пространствах. Теорема Хаусдорфа. Свойства непрерывных отображений в метрических пространствах.
Принцип сжатых отображений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма.
Определение и примеры линейных пространств. Банаховы пространства, определение и примеры. Эквивалентные нормы, теорема об эквивалентности норм в конечномерных пространствах. Примеры использования эквивалентных норм.
Выпуклые множества, тела и функционал. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала. Теорема отделимости выпуклых множеств.
Скалярные произведения, неравенство Коши-Буняковского, полные ортонормированные системы. Теорема о существовании базиса в сепарабельном евклидовом пространстве. Теорема об ортогональной проекции в H.
Ограниченные и непрерывные операторы в нормированных пространствах. Определение линейного оператора и его свойства. Теорема о норме линейного оператора. Теорема о полноте пространства линейных непрерывных операторов. Продолжение линейного оператора по непрерывности. Теорема Банаха-Штейнгауза.
Обратные операторы. Общие свойства. Теорема об обращении оператора.
Спектр и резольвента линейного оператора.
Замкнутые линейные операторы. Основные свойства. Теорема о замкнутом графике.
Сопряженные пространства и операторы. Определения и основные свойства. Общий вид линейного непрерывного функционала в H, 
, C[a, b]. Теоремы о норме сопряженного и самосопряженного оператора.
Теоремы Фредгольма для линейных интегральных уравнений.
Слабая сходимость и слабая компактность. Вполне непрерывные операторы. Определение, основные свойства. Спектральное разложение вполне непрерывного самосопряженного оператора. Решение уравнения 1-го и 2-го рода с вполне непрерывным самосопряженным оператором.
Производная и дифференциал Фреше, их свойства. Первая вариация и производная Гато.
Принцип неподвижной точки Шаудера. Теорема о неявном операторе. Метод Ньютона.
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Меры, измеримые функции, интеграл.
2. Аддитивные функции множеств (меры), счетная аддитивность мер.
3. Конструкция лебеговского продолжения.
4. Измеримые функции.
5. Сходимость функций по мере и почти всюду.
6. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега.
7. Предельный переход под знаком интеграла.
8. Сравнение интегралов Лебега и Римана.
9. Прямые произведения мер.
10. Теорема Фубини.
11. Неопределенный интеграл Лебега и теория дифференцирования.
12. Дифференцируемость монотонной функции почти всюду.
13. Функции с ограниченным изменением (вариацией).
14. Производная неопределенного интеграла Лебега.
15. Задача восстановления функции по ее производной.
16. Абсолютно непрерывные функции.
17. Теорема Радона–Никодима.
18. Интеграл Стилтьеса.
19. Пространства суммируемых функций и ортогональные ряды.
20. Неравенства Гельдера и Минковского.
21. Пространства Lp, их полнота.
22. Полные и замкнутые системы функций.
23. Ортонормированные системы в L2 и равенство Парсеваля.
24. Ряды по ортогональным системам; стремление к нулю коэффициентов Фурье суммируемой функции в случае равномерно ограниченной ортонормированной системы.
25. Тригонометрические ряды.
26. Преобразование Фурье.
27. Условие сходимости ряда Фурье.
28. Представление функций сингулярными интегралами.
29. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд.
30. Преобразование Фурье интегрируемых и квадратично интегрируемых функций.
31. Свойство единственности для преобразования Фурье.
32. Преобразование Лапласа.
33. Преобразование Фурье—Стилтьеса.
34. Гладкие многообразия и дифференциальные формы.
35. Касательное пространство к многообразию в точке.
36. Дифференциальные формы на многообразии.
37. Основные интегральные формулы анализа.
38. Метрические, нормированные, гильбертовы пространства. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Компактные множества.
39. Принцип сжатых отображений, методы последовательных приближений и их приложения. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства.
40. Сильная и слабая сходимость. Задача о наилучшем приближении. Наилучшее равномерное приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.
41. Линейные функционалы и операторы. Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора.
42. Сходимость операторов; ряд Неймана и условия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора. Мера обусловленности линейного оператора и ее применение при замене точного уравнения (решения) приближенным.
43. Линейные функционалы. Теорема Банаха—Штейнгауза и ее приложения. Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала (для гильбертова пространства).
44. Спектр оператора. Сопряженные, симметричные, самосопряженные, положительно определенные, вполне непрерывные операторы и их спектральные свойства.
45. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов, решения уравнений и нахождения собственных значений (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, наименьших квадратов).
46. Дифференцирование нелинейных операторов, производные Фреше и Гато. Метод Ньютона, его сходимость и применение.
47. Пространства функций C, 
, 
, 
. Обобщенная производная.
48. Неравенства Пуанкаре—Стеклова—Фридрихса. Понятие о теоремах вложения.
49. Понятие аналитической функции. Интегральная теорема Коши.
50. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля аналитической функции. Лемма Шварца.
51. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. Теоремы единственности. Нули аналитических функций. Изолированные особые точки однозначного характера.
52. . Вычеты, теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента. Теорема Руше.
53. Практические приложения теории вычетов.
54. Целые функции. Рост целой функции, порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями. Разложение целой функции в бесконечное произведение.
55. Конформное отображение. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями: линейной, степенной, радикалом, показательной, логарифмической.
56. Принцип аналитического продолжения. Полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса. Распространение функции действительного переменного на комплексную область по принципу аналитического продолжения.
3. ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Хелемский по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004.
2. Агранович функции. М.: МЦНМО, 2009.
3. , Смолянов и функциональный анализ. М.: РХД, 2009.
4. Пирковский теория и функциональные исчисления для линейных операторов. М.: МЦНМО, 2010.
5. Герасимчук классической математики в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов : в 3 т - М.: Физматлит - 2008.
6. Фихтенгольц математического анализа: учеб. для вузов : в 2-х ч. - СПб.: 1. - 9-е изд., стер.. - 2008. - 448 с.
7. Фихтенгольц математического анализа: учеб. для вузов : в 2-х ч - СПб.: 2. - 9-е изд., стер.. - 2008. - 464 с.
8. Привалов в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1999.
Дополнительная литература
1. , Фомин теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
2. , Шабат теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
3. Маркушевич аналитических функций. Т. 1, 2. М.: Наука, 1968.
4. Натансон функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
5. Никольский математического анализа. Т. 2. М.: Наука, 1991.
6. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1976.
7. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
8. Шабат в комплексный анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1985.
9. Треногин анализ. М.: Наука, 1980.
10. Лебедев анализ и вычислительная математика. 4-е изд. М.: Физматлит, 2000.
11. , Ульянов и интеграл. М.: Факториал, 1998.
12. Евграфов функции. М.: Наука, 1991.
13. Зорич анализ. Т. 2. М.: Наука, 1984.
14. , Соболев функционального анализа. М.: Наука, 1965.
15. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
16. Садовничий операторов. М.: Высш. школа, 1999.
17. Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983.
