Ответы, указания, решения (1 тур) (стр. 3 )

7.  Найдите все натуральные k, при которых число является квадратом натурального числа.

Решение. Пусть . Рассмотрим равенство как квадратное уравнение относительно k. Его дискриминант - полный квадрат, отсюда . Поскольку 2017 – простое число, получим . Отсюда и .

8.  Пусть a, b, c – вещественные числа и . Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения .

Ответ: 1, -1/2. Неравенство следует из неравенства . Неравенство следует из неравенства . Первое неравенство превращается в равенство при , второе – при .

Математический бой №1 (Старшая группа, подгруппа А)

1.  Найти какую-либо действительную, строго возрастающую функцию f(x), удовлетворяющую для всех положительных x соотношению: , а для всех отрицательных x соотношению:

Ответ: например: , есть и другие примеры, например, и .

2.  Пусть . Доказать, что уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Решение. Поскольку , то . Осталось положить для произвольного натурального , т. е. тройка является решением исходного уравнения.

3.  Дан треугольник . Биссектриса угла пересекает сторону в точке . Биссектриса внешнего угла при вершине пересекает прямую в точке ; - точка пересечения прямых и . Доказать, что угол равен . Решение. Обозначим через I точку пересечения прямых и . Докажем, что I – центр вписанной окружности треугольника . В самом деле, , . Отсюда, , но по теореме Менелая . В итоге и - биссектриса угла . Точка - лежит на пересечении биссектрис внешних углов при вершинах и треугольника . Поэтому - биссектриса угла . Пусть точка пересечения и . Тогда - точка пересечения биссектрис треугольника . Значит и четырехугольник - вписанный. В итоге .

4.  В круге площади 1 проведены две пересекающиеся перпендикулярные хорды, находящиеся от центра на расстоянии . Найдите площадь, ограниченную окружностью и двумя неравными отрезками хорд.

Ответ. . Решение. Искомая площадь равна сумме площадей прямоугольного треугольника и сегмента, ограниченного дугой . Поскольку угол , то площадь сегмента равна . Площадь равна . В итоге ответ: .

5.  Найти наименьшее возможное значение выражения: , если – это перестановки чисел . Ответ. 4032. Решение. Разобьем всю сумму на две части: первая, которая начинается с числа 1, и заканчивается на числе 2017; вторая, которая начинается с числа 2017 и заканчивается на числе 1. Так как сумма модулей не меньше модуля суммы (для любого количества слагаемых), то каждая из этих сумм не меньше , а вся сумма не меньше . Это значение достигается, например, если ( i = 1, 2, …, 2017).

6.  Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый король бил не более одного короля?

Ответ: 26. Решение. Если королей на доске больше 26, то число узлов сетки, с которыми они граничат не меньше 82, но это невозможно. Пример: