Ответы, указания, решения (1 тур) (стр. 4 )

+		+	+		+		+
+					+		+
+	+		+	+		+	+
+	+		+	+		+	+
+	+		+	+		+	+

7.  В течение учебного года было проведено 44 математических олимпиады. В каждой олимпиаде победителями стали ровно 7 школьников. Известно, что для любых двух олимпиад, существует ровно один школьник, который выиграл обе олимпиады. Верно ли, что есть такой школьник, который победил во всех олимпиадах? Ответ. Да. Решение. Предположим, что никто не победил во всех олимпиадах, тогда каждый школьник выиграл не больше, чем 7 олимпиад. Доказательство: предположим, что школьник A выиграл 8 (или больше) олимпиад, и пусть он не выиграл олимпиаду C , тогда для каждой олимпиады D, выигранной A, есть школьник, который выиграл C и D (и не выиграл никаких других олимпиад, в которых победил A). Тогда олимпиаду C выиграли не меньше 8 школьников, что противоречит условию.

Очевидно, общее количество пар олимпиад равно . Вычислим теперь эту же величину другим способом. Так как для любой пары олимпиад, есть ровно один школьник, который выиграл обе олимпиады, можно найти эту величину, суммируя количество пар олимпиад, по каждому из школьников. Пусть количество олимпиад, выигранных i – м школьником (), тогда и Легко показать, что (поскольку все ). Но . Из полученного противоречия следует, что найдется школьник, победивший во всех олимпиадах.

8.  Докажите, что существует простое число, большее миллиона, которое после прибавления 210 становится составным. Решение. Допустим простое число, большее миллиона. Прибавим раз к нему число 210. Получим составное число . Ясно, что на одном из шагов прибавления 210 из простого числа получилось составное.

Математический бой №1 (Старшая группа, подгруппы B и С)

1.  Найдите все пары действительных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению . Ответ. Уравнение сводится к виду .

2.  Найти какую-либо действительную, строго возрастающую функцию f(x), удовлетворяющую для всех положительных x соотношению: , а для всех отрицательных x соотношению:

Ответ: например: , есть и другие примеры, например, и .

3.  Пусть . Доказать, что уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Решение. Поскольку , то . Осталось положить для произвольного натурального , т. е. тройка является решением исходного уравнения.

4.  Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, M и N – середины сторон AD и BC соответственно. Точки A, B, M, N лежат на одной окружности. Прямая AB касается описанной окружности . Докажите, что прямая AB также касается описанной окружности .

Решение. Поскольку , то . Следовательно, - трапеция. Значит, в четырехугольнике средняя линия параллельна основанию . Поэтому ABCD – вписанная трапеция, а значит эта трапеция равнобочная. Поэтому при осевой симметрии относительно серединного перпендикуляра к основаниям этой трапеции описанная окружность перейдет в описанную окружность . Прямая АВ при этом перейдет в себя.

5.  В круге площади 1 проведены две пересекающиеся перпендикулярные хорды, находящиеся от центра на расстоянии . Найдите площадь, ограниченную окружностью и двумя неравными отрезками хорд. Ответ. . Решение. Искомая площадь равна сумме площадей прямоугольного треугольника и сегмента, ограниченного дугой . Поскольку угол , то площадь сегмента равна . Площадь равна . В итоге ответ: .

6.  Найти наименьшее возможное значение выражения: , если – это перестановки чисел . Ответ. 4032. Решение. Разобьем всю сумму на две части: первая, которая начинается с числа 1, и заканчивается на числе 2017; вторая, которая начинается с числа 2017 и заканчивается на числе 1. Так как сумма модулей не меньше модуля суммы (для любого количества слагаемых), то каждая из этих сумм не меньше , а вся сумма не меньше . Это значение достигается, например, если ( i = 1, 2, …, 2017).

7.  Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый король бил не более одного короля?

Ответ: 26. Решение. Если королей на доске больше 26, то число узлов сетки, с которыми они граничат не меньше 82, но это невозможно.

Пример:

+		+	+		+		+
+					+		+
+	+		+	+		+	+
+	+		+	+		+	+
+	+		+	+		+	+

8.  Докажите, что существует простое число, большее миллиона, которое после прибавления 210 становится составным. Решение. Допустим простое число, большее миллиона. Прибавим раз к нему число 210. Получим составное число . Ясно, что на одном из шагов прибавления 210 из простого числа получилось составное.