Задачи на минимальное количество (стр. 2 )

С/(У1+1) – максимальное количество

С/(У2-1) – минимальное количество

ПРИМЕР

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма чисел в каждой строке больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?

РЕШЕНИЕ

Найдем сумму таблицы

С=85+77+71=233

Определим границы суммы строк

12+1=13 – минимальная

15-1=14 – максимальная

Оценим количество строк в таблице

233/13=17,92 максимальное

233/14=16,64 минимальное

В этих пределах заключено только одно целое число – 17

ОТВЕТ: 17

9. ЗАПРАВКА НА КОЛЬЦЕВОЙ

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 20 км, между В и Г — 20 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

РЕШЕНИЕ

Внимательно прочитав задачу, мы заметим, что практически окружность разбита на три дуги АВ, ВГ и АГ. На основании этого мы найдем длину всей окружности(кольцевой). Для данной задачи она равна 20+20+30=70 (км).

Теперь расставив все точки на окружности и подписав длины соответствующих дуг, легко определить искомое расстояние. В данной задаче БВ=АБ-АВ, то есть БВ=35-20=15

ОТВЕТ: 15 км

10. КОМБИНАЦИИ

Сколькими способами можно поставить в ряд три одинаковых желтых кубика, один синий кубик и один зеленый кубик?

РЕШЕНИЕ

Для решения данного типа задач следует вспомнить что такое факториал

Факториалом числа N! называется произведение последовательных чисел от 1 до N, то есть 4!=1*2*3*4.

Теперь вернемся к задаче. Найдем общее количество кубиков: 3+1+1=5. Так как одного цвета у нас три кубика, то общее количество кубиков можно найти по формуле 5!/3! Получим (5*4*3*2*1)/(1*2*3)=5*4=20

ОТВЕТ: 20 способов расстановки

11. КОЛОДЦЫ

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им Х рублей, а за каждый следующий метр — на У рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной N метров?

РЕШЕНИЕ:

Так как хозяин увеличивает цену за каждый метр, то за второй он заплатит (Х+У), за третий – (Х+2У), за четвертый (Х+3У) и т. д. Не сложно увидеть, что данная система оплаты напомин6ает арифметическую прогрессия, где а1=Х, d=Y, n=N. Тогда

Оплата за работу есть ничто иное как сумма данной прогрессии:

S=((2a₁+d(n-1))/2)·n

ПРИМЕР:

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

РЕШЕНИЕ

Исходя из выше сказанного получаем a1=4200

d=1300

n=11

подставляя эти данные в нашу формулу получаем

S=((2*4200+1300(11-1)/2)*11=((8400+13000)/2)*11=10700*11=117700

ОТВЕТ: 117700

12. СТОЛБЫ И ПРОВОДА

Х столбов, соеденны между собой проводами, так что от каждого отходит ровно У проводов. Сколько всего проводов натянуто между столбами?

РЕШЕНИЕ

Найдем сколько промежутков между столбами. Между двумя один промежуток, между тремя – два, между четырьмя – 3, между Х – (Х-1).

На каждом промежутке У проводов, тогда (Х-1)*У это всего проводов между столбами.

ПРИМЕР

Десять столбов соеденны между собой проводами, так что от каждого отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов натянуто между столбами?

РЕШЕНИЕ

Возвращаясь к предыдущим обозначениям получаем:

Х=9 У=6

Тогда получаем (9-1)*6=8*6=48

ОТВЕТ: 48

13. ПИЛИМ ДОСКИ И БРЕВНА

Было несколько брёвен. Сделали Х распилов и получилось У чурбачков. Сколько брёвен распилили?

РЕШЕНИЕ

При решении сделаем одно замечание: некоторые задачи не всегда имеют математическое решение.

Теперь к задаче. При решении надо учесть, что бревен больше чем одно и при распили каждого бревна получается =1 кусок.

Данный вид задачи решать удобнее методом подбора:

Пусть будет два бревна тогда кусков получиться 13+2=15

Возьмем три получим 13+3=16

И тут можно увидеть зависимость, что количество распилов и кусков увеличивается одинаково, то есть количество бревен которые надо распилить равно У-Х

ПРИМЕР

Было несколько брёвен. Сделали 13 распилов и получилось 20 чубачков. Сколько брёвен распилили?

РЕШЕНИЕ

Вернувшись к нашим рассуждениям мы можем подбирать, или можно просто 20-13=7 значит всего 7 бревен

Ответ 7

14. ВЫПАВШИЕ СТРАНИЦЫ

Из книги выпало подряд несколько страниц. Первая из выпавших страниц имеет номер Х, а номер последней записывается такими же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

РЕШЕНИЕ

Нумерация страниц, которые выпали, начинаются с нечетного числа и должны оканчиваться четным числом. Поэтому, мы, зная. что номер последней выпавшей записывается теми же цифрами, что первая выпавшая знаем ее последнюю цифру. Путем перестановок оставшихся цифр и, учитывая, что нумерация страницы должна быть больше, чем первая выпавшая, получаем ее номер. Зная номера страниц, можно посчитать сколько их выпало, при этом учтем что страница Х тоже выпала. Значит из получившегося номера мы должны вычисть число (Х-1)

ПРИМЕР

Из книги выпало подряд несколько страниц. Первая из выпавших страниц имеет номер 387, а номер последней записывается такими же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

РЕШЕНИЕ

Опираясь, на наши рассуждения получаем, что номер последней выпавшей страницы должен оканчиваться на цифру 8. Значит у нас всего два варианта чисел это 378 и 738. 378 нам не подходит так как оно меньше номера первой выпавшей страницы значит последняя выпавшая это 738.

738-(387-1)=352

ОТВЕТ: 352

Следует добавить следующее: иногда просят указать количество листов, тогда следует количество страниц разделить пополам.

15.ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА

В конце четверти Вовочка выписал подряд в строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторых из них знак умножения. Произведения получившихся чисел оказалось равны Х. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по пению?

РЕШЕНИЕ

При решении данного типа задач необходимо учитывать, что его оценки должны быть 2,3,4 и 5. Поэтому нам необходимо разложить число Х на множители 2,3,4 и 5. Причем остаток от разложения тоже должен состоять из этих чисел.

ПРИМЕР1

В конце четверти Вовочка выписал подряд в строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторых из них знак умножения. Произведения получившихся чисел оказалось равны 2007. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по пению?

РЕШЕНИЕ

Разложим число 2007 на множители

Получим 2007=3*3*223

Значит его отметки: 3 3 2 2 3 теперь найдем среднее арифметическое его оценок для данного набора это 2,6 следовательно его оценка три (больше чем 2,5)

ОТВЕТ 3

ПРИМЕР 2

В конце четверти Вовочка выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалась равным 690. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки 2, 3, 4 и 5 и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленная по правилам округления? (Например: 2,4 округляется до двух; 3,5 – до 4; а 4,8 – до 5.)

РЕШЕНИЕ

690 разложим на множители так что бы остаток от разложения состоял из цифр 2 3 4 5

690=3*5*2*23

Следовательно его оценки: 3 5 2 2 3

Найдем среднее арифметическое этих чисел: (3+5+2+2+3)/5=3

Это и будет его оценкой

ОТВЕТ: 3

16. МЕНЮ

В меню ре­сто­ра­на име­ет­ся Х видов са­ла­тов, У вида пер­вых блюд, А видов вто­рых блюд и В вида де­сер­та. Сколь­ко ва­ри­ан­тов обеда из са­ла­та, пер­во­го, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать по­се­ти­те­ли этого ре­сто­ра­на?

РЕШЕНИЕ

При решении немного урежем меню: пусть есть только салат и первое тогда вариантов становиться (Х*У). Теперь добавим второе блюдо количество вариантов возрастает в А раз и становиться (Х*У*А). ну а теперь добавим десерт. Количество вариантов возрастет в В раз

Теперь мы получаем окончательный ответ:

N=Х*У*А*В

ПРИМЕР

В меню ре­сто­ра­на име­ет­ся 6 видов са­ла­тов, 3 вида пер­вых блюд, 5 видов вто­рых блюд и 4 вида де­сер­та. Сколь­ко ва­ри­ан­тов обеда из са­ла­та, пер­во­го, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать по­се­ти­те­ли этого ре­сто­ра­на?

РЕШЕНИЕ
Опираясь на выше изложенное получаем:

N=6*3*5*4=360

ОТВЕТ: 360

17. ДЕЛИМ БЕЗ ОСТАТКА

Про­из­ве­де­ние де­ся­ти иду­щих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен оста­ток?

Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?

В данном разделе рассмотрим задачи на конкретном примере, для большей наглядности

Так как у нас произведение последовательно идущих чисел и их больше чем 7, то хотя бы одно должно делиться на 7. Значит мы имеем произведение, один из множителей которого делиться на 7, следовательно и все произведение тоже делиться на семь, а значит остаток от деления будет равен нулю, или для второй задачи количество множителей должно равняться делителю.

18.ТУРИСТЫ

Груп­па ту­ри­стов пре­одо­ле­ла гор­ный пе­ре­вал. Пер­вый ки­ло­метр подъёма они пре­одо­ле­ли за 50 минут, а каж­дый сле­ду­ю­щий ки­ло­метр про­хо­ди­ли на 15 минут доль­ше преды­ду­ще­го. По­след­ний ки­ло­метр перед вер­ши­ной был прой­ден за 95 минут. После де­ся­ти­ми­нут­но­го от­ды­ха на вер­ши­не ту­ри­сты на­ча­ли спуск, ко­то­рый был более по­ло­гим. Пер­вый ки­ло­метр после вер­ши­ны был прой­ден за час, а каж­дый сле­ду­ю­щий на 10 минут быст­рее преды­ду­ще­го. Сколь­ко часов груп­па за­тра­ти­ла на весь марш­рут, если по­след­ний ки­ло­метр спус­ка был прой­ден за 10 минут.

Данный тип задач тоже рассмотрим на конкретном примере.

Для начала определим, что нам необходимо найти: времямаршрута=подъем+отдых+спуск