08-12-03. Повороты и направленные углы (стр. 2 )

Пример 2. Пусть луч определяет угол в . При повороте точки против хода часовой стрелки на получим точку , изображенную на рисунке 6. В этом случае центральный угол равен . Заметим, что сумма может быть записана в виде . Поэтому удобно определять углы в и одним лучом.

Пример 3. Пусть луч определяет угол в . При повороте точки против хода часовой стрелки на получим точку , изображенную на рисунке 7. В этом случае центральный угол равен . Заметим, что сумма может быть записана в виде . Поэтому удобно определять углы в и одним лучом.

Приведенные примеры показывают, что удобно определить углы величиной больше таким образом, чтобы угол величины и угол величины изображались в координатной плоскости одним и тем же лучом.

Пусть и — натуральное число. Угол величины

в координатной плоскости определяется лучом , для которого центральный угол имеет величину .

Будем по определению считать, что луч получается из положительного луча оси поворотом на .

Пример 4. Пусть . Так как , то угол величины определяется лучом , изображенным на рисунке 8. Угол в можно наглядно представить, если в точке закрепить стрелку, направленную в даль положительного луча оси , а затем повернуть ее против хода часовой стрелки сначала на два полных оборота, а затем еще на .

4. Тригонометрические функции для углов .

В предыдущем пункте мы определили поворот положительного луча оси на любой угол неотрицательной величины. Определим для таких углов тригонометрические функции.

Пусть и при повороте положительного луча оси на угол получается луч, пересекающий тригонометрическую окружность в точке .

Абсцисса точки называется косинусом угла и обозначается как .

Ордината точки называется синусом угла и обозначается как .

При отношение называется тангенсом угла и обозначается как .

Пусть , где и — натуральное число. При повороте положительного луча на угол и на угол получается один и тот же луч . Поэтому можно записать следующие формулы:

Пример 5. Найдем значение .

Разделив с остатком число 1995 на 360, получим .

Поэтому

5. В пункте 1 мы рассмотрели поворот относительно начала системы координат против хода часовой стрелки на и получили следующее: если точка имеет координаты , где и , то при данном повороте она переходит в точку с координатами . После обобщения тригонометрических функций на произвольные неотрицательные углы получаются общие формулы преобразования координат при повороте на положительный угол.

Пусть . При повороте относительно начала системы координат против хода часовой стрелки на угол точка переходит в себя, а любая другая точка с координатами