Методические аспекты оценки трансграничного переноса в атмосфере загрязняющих веществ (стр. 3 )

В отношении же разработки эффективных вычислительных алгоритмов, то здесь уместно сослаться на П. Роуча [10]. В разделе «Направления будущих исследований» им высказана мысль о том, что наиболее важной область развития методов являются, вероятно, полуаналитические (или, что, то же самое, полудискретные) методы расчетов. Это название охватывает различные методы (метод усеченных рядов, метод интегральных соотношений, метод прямых и т. д.). В данном разделе нами будут подробно описаны численно-аналитические методы дискретизации рассматриваемых уравнений, основанные на отрезках рядов Тейлора, на решениях задач Коши, методах интегрального преобразования Лапласа [11-13], позволяющих конструктировать схемы повышенного порядка точности.

Конечно, в каждом конкретном случае общая система дифференциальных уравнений, описанная выше, может быть и упрощена. Например, как правило, при расчете распространения загрязнений в атмосфере используется задача моделирования переноса примесей на фоне атмосферных явлений, когда информация о состоянии атмосферы (поле скоростей и температуры) считаются заданными. Конечно, решению задачи в такой постановке должно предшествовать составление климатической карты полей ветра с учетом особенностей рельефа подстилающей поверхности.

Возможен и такой вариант. Можно постулировать, что состояние окружающей среды, например, региона состоит из глобальной циркуляции и локальных циркуляций, развивающихся на фоне глобальной циркуляции. В такой постановке исходную полную задачу можно расщепить по физическим процессам и тем самым упростить ее реализацию на ПЭВМ.

Отметим еще и следующее обстоятельство. Решение конкретной той или иной задачи математического моделирования определяется не только как функция пространственных координат и времени, но и как функция входных параметров. По-видимому, будет более наглядным интерпретация начально-краевых задач из рассматриваемого класса с точек зрения соотношений причина-следствие. К причинным характеристикам процесса переноса загрязнений отнесем начальные и граничные условия и их параметры, коэффициенты исходных уравнений, источники загрязнений и их параметры, а также геометрические параметры, в которых определяются вектора искомых решений. Тогда следствием будет то или иное состояние окружающей среды, определяемое полями скоростей, температуры и концентрации.

Таким образом, установление причинно-следственных связей будет составлять цель прямых задач экологии. И наоборот, если по определенной информации о векторах решений, известной из эксперимента, требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи. Следовательно, наличие программного обеспечения по решению поставленных задач, в зависимости от поставленной цели, позволит реализовать решение как прямых, так обратных задач. Например, задач идентификации моделей турбулентности, задач трансграничного переноса [14] и т. д. Конечно, к алгоритму решения прямых задач при этом необходимо подключить дополнительный этап – этап идентификации математической модели и ее уточнение по данным измерений обратными методами. Выбрав в качестве критерия идентификации функционал, например, в виде среднеквадратичной навязки между расчетной и экспериментальными значениями той или иной физической субстанции, обратную задачу можно интерпретировать как задачу оптимального управления. При таком подходе, по-видимому, можно будет в конечном счете построить математическую модель более или менее адекватную физической модели.

Основу современных моделей динамики атмосферы Земли составляют законы сохранения массы, момента и энергии, которые вместе с законами химии и термодинамики описывают процессы, происходящие в атмосфере, океане, почве, а также их взаимодействие. В математическом выражении это системы многомерных нелинейных дифференциальных задач, которые решаются в предположении, что внешним источником является солнечная энергия. Эти системы включают ряд параметров. Под параметрами обычно подразумевают коэффициенты уравнений, начальные поля, характеристики области интегрирования и т. д.

В каждом конкретном случае можно с какой-то достоверностью на основе априорной информации описать некоторое допустимое множество входных параметров и по результатам обработки данных измерений в реальной физической системе земля-почва оценить начальное состояние. Решение конкретной задачи поэтому будет определяться не только как функция пространственных координат и времени, но и как функция входных параметров. Поэтому, чтобы оценить полученное решение, необходимо исследовать поведение вариационных параметров. Именно в этом и состоит суть изучения чувствительности модели к вариациям входных данных. Теория чувствительности математических моделей нашла свое развитие в теории оптимального управления и идентификации систем [5].

Рассмотрим структуры математических моделей к расчету распространения загрязнений из различных источников в атмосфере регионов, обусловленного трансграничным переносом.

Динамическая модель ветра. Будет исходить из того, что течения газов можно рассматривать приближенно как несжигаемые среды, если число Маха остается малым по сравнении. С единицей, другими словами, при условии, что скорость течения мала по сравнению со скоростью наука. Для воздуха, в котором звук распространяется со скоростью С=330 м/с, число Маха приблизительно равно 0,3. Поэтому модель вязкой несжигаемой жидкости будет для нас определяющей при построении динамической модели ветра.

В общем случае течение газа описывается уравнения Навье-Стокса [6]. Вывод уравнений Навье-Стокса может быть сделан либо феноменологическим путем, либо на основе молекулярно-кинетической теории. Для несжигаемых течений система уравнения Навье-Стокса значительно упрощается даже в случае непостоянной температуры внутри жидкости. В самом деле. Прежде всего, уравнение неразрывности получает более простой вид. Далее, поскольку в несжигаемых течениях разности температур в общем случае малы. То коэффициент вязкости можно рассматривать как постоянную величину и поэтому уравнение состояния и уравнения энергии становятся ненужными для расчета полей скорости течения. Следовательно, этот расчет может производиться независимо от термодинамических уравнений. В результате уравнения движения и неразрывности упрощаются и, если члены, содержащие ускорение, выписать в раскрытом виде, принимают вид

где

·  есть оператор Лапласа;

·  субстанционная производная, которая складывается из локальной и конвективной производных;

,

·  вектор массовых сил, - вектор ускорения свободного падения (gx, gy, gz), b - коэффициент кубического расширения, =T-T - повышение температуры нагретой частицы жидкости по сравнению с температурой частиц, остающихся нагретыми.

Модель неоднородной жидкости в приближении Буссинеска. С расширением масштабов хозяйственной деятельности человека возрастает количество производимой энергии и одновременно количество выбросов тепла и примесей в атмосферу. Выброшенные примеси испытывают различные превращения и распространяются на большие расстояния, загрязняя природную среду. При этом модель несжимаемых течений воздуха может оказаться несостоятельной. Модель неоднородной среды должна учитывать изменение плотности по пространственным переменным. Причиной неоднородности среды может быть изменение ее состава или температуры, что приводит к ряду новых физических эффектов, которые отсутствуют в случае однородной изотермической среды (конвекция, тепло - и массоперенос). Уравнения движения для двух переменных в переменных функции тока-вихрь, уравнение энергии и диффузии в приближении Буссинеска объединяются в единую заметную систему дифференциальных уравнений [15].

где Т - температура; С – концентрация примеси; j – угол проекции гравитационной составляющей на координатные оси; bT, bC – коэффициенты термического и концентрационного расширения; a, D – коэффициенты температуропроводимости и диффузии; g – ускорение свободного падения; r, cp – плотность и коэффициент удельной теплоемкости при постоянном давлении.

Для обоснования граничных условий при построении моделей ветра необходимо проанализировать строение и динамику атмосферы.

Атмосфера - газообразная оболочка Земли, которая находится в постоянном движении, от самых нижних приземных до наиболее разреженных высоких ее слоев.

В атмосфере различают движения нескольких масштабов (размеров):

А) движение “шкалы А”, или “макро-шкалы” - размеров L³10000 км, т. е. сравнимые с размером земного шара, материков и океанов течения общей циркуляции атмосферы;

В) движения “шкалы В” (синоптического масштаба) с L от 200 до 2000 км и более - длинные волны, циклоны и антициклоны, а также фронты;

С) движение “шкалы С” (мезомасштабные) c L=2-200 км, к которым относятся местные ветры, шквалы, облачные скопления, грозовые ячейки и т. д.;

D) движения “шкалы D” (микромасштабные) с с L£2 км, в том числе смерчи, конвективные ячейки и подветренные волны [16,17].

В целом течения атмосферы сходны с движением идеальной жидкости без трения.