Моделирование микроканонического ансамбля методом Монте Карло в пакете MATLAB (стр. 3 )

Результаты выполнения описанной последовательности команд представлены на рис. 1-3.

Рис. 1. Зависимость мгновенных значений энергии демона от времени (номера шага Монте-Карла)

Рис. 2. Распределение по энергии демона N·P(Ed)E

Рис. 3. Функция, аппроксимирующая распределение по энергии демона N·P(Ed)E

Таким образом результаты моделирования идеального газа методами микроканонического и канонического ансамблей позволяют сделать следующие выводы:
1. Распределение вероятностей энергии демона описывается функцией вида

(4)

где A - постоянный коэффициент, Tterm0.99013.
2. Температура идеального газа, определяемая как средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу, Tkin совпадает в пределах точности модели с температурой термостата Tterm. Это позволяет сделать вывод о том, что демон находится в термодинамическом равновесии с термостатом.
Распределение вероятности (4) называется распределением Больцмана или каноническим распределением. Данное распределение принято записывать в следующем виде:

(5)

где Z - нормировочный множитель, выбираемый из условия равенства единице суммы по всем состояниям демона, kB=1.38·10-16 эрг·град-1 - постоянная Больцмана. Параметр T называется абсолютной температурой. Температура может измеряться в единицах kB, тогда распределение Больцмана принимает вид

(6)

Формулы (5), (6) обеспечивают простой способ вычисления температуры по средней энергии демона <Ed>, которая по определению равняется

(7)

Таким образом, средняя энергия демона равняется температуре термостата. Данный результат справедлив, только при условии, что значения энергии принимают непрерывные значения.
Отметим, что формулы (5), (6) применимы для любой микросистемы, находящейся в тепловом равновесии с термостатом, - канонического ансамбля - при этом всякое макросостояние задается температурой T, числом частиц системы N и объемом V. В отличие от канонического ансамбля микроканонический ансамбль характеризуется энергией E, числом частиц системы N и объемом V.
Задача 4.
Исследуйте зависимость точности определения температуры, определяемой с помощью микроканонического и канонического ансамблей от числа частиц системы N и числа шагов метода Монте-Карло.

3. Модель Изинга.
Одной из простейших моделей, используемых в статистической физике для моделирования фазовых переходов в магнитных веществах или бинарных составах, является модель Изинга. Данная модель относится к широкому классу решеточных моделей, в которых рассматриваются локальные взаимодействия, то есть взаимодействия между ближайшими узлами решетки. В магнитных системах локальные взаимодействия обусловлены спинами, расположенными в узлах решетки. Спины могут представлять собой, например, магнитные моменты атомов в твердом теле, взаимодействующие друг с другом и внешним магнитным полем.
Рассмотрим решетку, состоящую из N узлов. Свяжем с каждым i-ым узлом решетки число si=±1, характеризующее направление магнитного момента системы, где si=+1, если спин ориентирован в положительном направлении оси oZ, и si=-1, если спин ориентирован в отрицательном направлении оси oZ. (Данная картина характерна для частиц с полуцелым спином, хотя далее мы рассматриваем спины как классические степени свободы и не вводим для них используемых в квантовой механике правил коммутации углового момента). Любое микросостояние решетки задается набором переменных {s1,s2,...,sN}. Так как макроскопическое свойства системы определяются свойствами ее достижимых микросостояний, необходимо вычислить зависимость энергии E от конфигурации спинов. Полная энергия при наличии магнитного поля h в модели Изинга равняется

(8)

где обозначение <i,j> означает, что сумма берется по всем ближайшим соседним парам спинов, константа обменной связи J характеризует силу взаимодействия соседних спинов (рис. 4).

Рис. 4. Энергия взаимодействия между ближайшими соседними спинами в отсутствие магнитного поля

Если J>0, то в состоянии и , т. е. при одинаковой ориентации спинов ближайших соседей, энергетически выгоднее состояний и , у которых соседние спины ориентированы в противоположные стороны. Следовательно, можно ожидать, что для J>0 состояние с наименьшей полной энергией является ферромагнитным, т. е. в среднее число спинов сориентированных в одном направлении не равно нулю. Если J<0, то с энергетической точки зрения более предпочтительными оказываются состояния и , для которых соседние спины антипараллельны. Следовательно, среднее число спинов, сориентированных в одном направлении, равно нулю, т. е. спины упорядочены через один (антиферромагнитное состояние). При наложении внешнего магнитного поля, направленного параллельно оси oZ, спины и приобретают дополнительную внутреннюю энергию, равную -h и +h, соответственно.
Выделим основные упрощающие предположения, положенные в основу модели Изинга:
1. Кинетическая энергия узлов решетки принимается равной нулю.
2. В выражении, описывающем энергию взаимодействия, учитывается только вклад от ближайших соседей и предусматривается только два дискретных состояния для спинов.
Так как в дальнейшем нас будут интересовать термодинамические характеристики данной системы, оказывается удобным измерять энергии связей J и h в единицах температуры. Тогда нагревание системы будет приводить к ослаблению этих связей. Возможные конфигурации системы определяются заданием значений всех спиновых переменных, число которых составляет 2N, а вклад любой из 2N спиновых конфигураций s определяется функцией распределения для канонического ансамбля

(9)

где