Методические указания к самостоятельной работе по теме “Элементы теории случайных процессов” (стр. 6 )

Решение. а) Воспользуемся формулой 4) п. 11.

.

Найдем амплитудно-частотную характеристику системы

Во втором интеграле сделаем замену Тогда

.

Последний интеграл вычислим по формуле (4) приложения 2.

Найдем все полюса подынтегральной функции с положительными мнимыми частями: ω2 +1= 0 ═>ω0 = i , 4 + (3 -ω)2 = 0 ═> ω1 = 3 + 2i. Все они являются простыми полюсами.

Таким образом,

.

Из-за четности функции kX(τ) при всех действительных значениях τ получаем

.

б) Найдем амплитудно-частотную характеристику системы

По формуле 4) п. 11 получаем

Дробь в подынтегральном выражении разложим на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

.

Приравняем числители: Подставляя в это уравнение поочередно значения ω = 0, ω = 5i, ω = 2i, получим систему уравнений

Решив ее, найдем Таким образом,

В случае t ³ 0 первые два интеграла вычислим по формуле 1, а третий – по формуле 11 из приложения 1.

.

Из-за четности функции kY (τ) при всех действительных значениях τ имеем

.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Табличные интегралы

1. , a > 0, m ≥ 0.

2. a > 0, m ≥ 0.

3. a > 0, m ≥ n ≥ 0.

4. , a > 0, m ≥ n ≥ 0.

5.

6. , a ≥ 0, m > 0.

7. a > 0, m ≥ 0.

8. , a > 0, m ≥ 0.

9. a > 0, m ≥ 0.

10. , a > 0, m ≥ 0.

11. , a > 0, m ≥ 0

12. , a, b>0, m≥0, a ≠ b.

13. , a, b>0, m≥0, a ≠ b.

14.

15.

16.

17. , a > 0.

18. a > 0.

19. a > 0.

20. a > 0.

21. , a > 0.

22. , a > 0.

23. , a > 0.

24. a ≠ 0.

25. , a ≠ 0.

26. a ≠ 0.

27. a ≠ 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Сведения из теории вычетов.

1.  Вычисление вычетов для полюсов.

Пусть z0 - простой полюс функции , функции аналитичны в точке z0 и . Тогда

. (1)

Пусть z0 - полюс второго порядка функции . Тогда

. (2)

2.  Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

Пусть P(z), Q(z) - многочлены от z степени n, m соответственно, причем m > n + 1. Кроме того, пусть дробь P(z)/Q(z) не имеет особых точек на оси Ох, а - все ее полюса с положительными мнимыми частями. Тогда

, (3)

. (4)

Замечание. При m > n + 1 формула (3) является частным случаем формулы (4) при a = 0. Однако при a > 0 формула (4) верна и при m > n.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. , Никольский математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интеграла. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1980.

2. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.

3. Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1999.

4. Гнеденко теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.

5. Гурский вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971.

6. Двайт интегралов и другие математические формулы. – М.:Наука, 1983.

7. Задания к типовому расчету по теме «Элементы теории случайных процессов»/ Составитель – Шахты: ЮРГУЭС, 2002.

8. Сборник задач по математике для втузов. Теория вероятностей и математическая статистика./ Под редакцией . – М.: Наука, 1990.

9. Чистяков теории вероятностей. – М.: Наука, 1982.

10. Сб. заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты. – М.: Высшая школа, 1999.