Методические указания к самостоятельной работе по теме “Элементы теории случайных процессов” (стр. 1 )

Министерство образования Российской Федерации

ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

(ЮРГУЭС)

Методические указания

к самостоятельной работе по теме

“Элементы теории случайных процессов”

для студентов 2–3 курсов радиотехнических специальностей

Шахты 2002

Составитель

Син кафедры математики ЮРГУЭС

Рецензент

Шрайфель кафедры математики ЮРГУЭС,

канд. физико-математических наук

Методические указания предназначены для оказания помощи студентам при выполнении расчетных заданий к типовому расчету по теме “Элементы теории случайных процессов”. Приведены подробные решения задач, однотипных задачам из сборника /7/. Приводятся все необходимые теоретические сведения из теории случайных процессов. В приложении приводятся необходимые для выполнения расчетных заданий табличные интегралы, формулы из теории вычетов. Методические указания составлены так, чтобы студент смог выполнить задания без обращения к дополнительной литературе. При желании студент может вычислять интегралы в математических пакетах, таких, как MATHCAD или MAPLE.

© Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, 2002

© , 2002

СОДЕРЖАНИЕ

Справочный теоретический материал ………..…………………..4

Обозначения и сокращения.………………………………………………..4

1. Случайный процесс………….……………………………………………4

2. Математическое ожидание случайного процесса………………………4

3. Дисперсия случайного процесса…………………………………………5

4. Корреляционная функция случайного процесса…..…………….………5

5. Взаимная корреляционная функция случайного процесса.…….………6

6. Характеристики производной случайного процесса.….……..…………7

7. Характеристики интеграла случайного процесса…...………..…………7

8. Стационарные случайные процессы…….….………..………..…………8

9. Эргодическое свойство стационарного случайного процесса…………9

10. Спектральное разложение стационарного случайного процесса……..9

11. Преобразование стационарного с. п. стационарной

линейной динамической системой………………..…………………….10

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ………………………………………………….…...………..11

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Табличные интегралы…...………………….……..………...29

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сведения из теории вычетов………………….…..…..…….31

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………......….32

СПРАВОЧНЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Обозначения и сокращения.

U N(m;s) означает, что случайная величина U распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m и дисперсией .

U R(a; b) - случайная величина U распределена равномерно на отрезке [a; b]. Математическое ожидание дисперсия .

U E(λ) - случайная величина U распределена по экспоненциальному закону с параметром λ. .

U В(n, p) - случайная величина U распределена по биномиальному закону с параметрами n, p. .

U Р(λ) - случайная величина U распределена по закону Пуассона с параметром λ. .

σ - среднеквадратическое отклонение, - дисперсия.

-центрированная случайная величина или центрированный случайный процесс.

С. п. - сокращение слов “случайный процесс”.

М. о. - сокращение слов “математическое ожидание”.

1. Случайный процесс. Функция X = X (t, ω), где t Î T, (t - время, или t ³ 0, Ω - пространство элементарных событий) называется случайным процессом. В дальнейшем с. п. X (t, ω) будем обозначать сокращенно X (t) или X .

Мы рассмотрим случайные процессы с действительными значениями.

При фиксированном значении X (t0, ω) является случайной величиной, которая называется сечением случайного процесса в момент времени t0 .

При фиксированном значении X (t, ω0) является неслучайной (обычной) функцией от времени t, которая называется реализацией случайного процесса.

2. Математическое ожидание с. п. При фиксированном значении t сечение X(t) является случайной величиной. Пусть для любого t Î T существует математическое ожидание М[X (t)].

Математическим ожиданием с. п. X (t) называется неслучайная функция от времени t

mX (t) = М[X (t)].

Свойства математического ожидания с. п. Пусть X(t), Y(t) - случайные процессы, φ(t) - неслучайная функция, С - константа.

1)  mφ (t) = φ (t).

2)  mX+Y (t) = mX (t) + mY (t).

3)  mСХ (t) = С∙mX (t).

4)  mX∙Y (t) = mX (t)∙mY (t), если сечения X (t), Y (t) некоррелированы при каждом .

5)  mφX (t) = φ (t)∙mX (t).

3. Дисперсия с. п. Пусть при каждом фиксированном t для сечения X(t) определена дисперсия D[X(t)].

Дисперсией с. п. X(t) называется неслучайная функция от времени t

DX (t)=D[X (t)].

Среднеквадратическим отклонением с. п. X(t) называется величина

Свойства дисперсии с. п. Пусть X(t), Y(t) - случайные процессы, φ(t) - неслучайная функция, С - константа.

1)  DX (t) ≥ 0.

2)  Dφ (t) = 0.

3)  DφX (t) = (φ (t))2DX (t).

4)  Dφ+X (t) = DX (t).

6)  DX+Y (t) = DX (t) + DY (t), если сечения X(t), Y(t) некоррелированы при каждом .

4. Корреляционная функция с. п.

Пусть -центрированный с. п.

Корреляционной функцией с. п. X(t) называется неслучайная функция от двух аргументов t1, t2

.

Нормированной корреляционной функцией с. п. X(t) называется неслучайная функция

.

Свойства корреляционной функции с. п. Пусть X(t) - случайный процесс, U - случайная величина, φ(t) - неслучайная функция.

1) 

2) 

3) 

4) 

5)  .

6) 

7)  .

8)  , .

5. Взаимная корреляционная функция с. п. Пусть X(t), Y(t) - случайные процессы. Взаимной корреляционной функцией с. п. X(t), Y(t) называется неслучайная функция от двух аргументов t1, t2

.

Два с. п. X(t), Y(t) называются некоррелированными, если

.

Нормированной взаимной корреляционной функцией с. п. X(t), Y(t) называется неслучайная функция