Лабораторная работа №1. Первичная обработка статистических данных (стр. 6 )

№ п/п	Na2O	K2O	№ п/п	Na2O	K2O	№ п/п	Na2O	K2O	№ п/п	Na2O	K2O	№ п/п	Na2O	K2O
1	4,34	3,73	17	2,11	1,12	33	3,16	2,69	49	4,25	3,75	65	6,20	2,66
2	4,82	4,16	18	4,14	2,75	34	4,80	3,60	50	3,62	2,78	66	5,30	3,51
3	5,13	2,50	19	4,63	2,68	35	5,22	2,78	51	4,35	1,47	67	3,09	3,00
4	3,34	4,01	20	4,69	3,86	36	4,69	3,74	52	3,71	1,02	68	2,41	1,72
5	4,64	5,88	21	4,29	2,74	37	3,00	0,98	53	3,12	3,78	69	4,28	1,31
6	2,56	3,20	22	3,95	0,17	38	2,08	2,36	54	3,94	3,31	70	3,27	2,01
7	4,00	1,73	23	3,04	3,95	39	5,00	2,30	55	4,76	3,48	71	3,55	1,64
8	5,42	4,26	24	3,92	2,03	40	2,64	3,48	56	5,44	0,43	72	4,34	2,18
9	3,46	2,72	25	4,02	1,31	41	5,00	1,81	57	4,84	2,61	73	3,34	2,85
10	5,24	4,71	26	3,90	2,44	42	2,98	4,30	58	4,63	0,17	74	3,59	2,17
11	3,33	3,58	27	5,30	2,37	43	4,09	1,81	59	3,56	3,36	75	4,28	2,19
12	4,44	3,24	28	3,86	1,89	44	3,24	2,34	60	2,78	1,26	76	4,90	1,66
13	4,83	3,08	29	4,04	1,27	45	4,12	4,19	61	2,99	2,91	77	4,80	3,50
14	5,30	2,15	30	3,16	3,52	46	4,48	3,41	62	4,88	3,08	78	4,84	2,68
15	2,90	2,50	31	4,86	2,43	47	2,51	3,16	63	5,02	2,62	79	2,84	2,57
16	3,54	3,44	32	4,08	3,47	48	4,06	2,37	64	3,16	2,10	80	2,78	4,05

Решение

Откроем таблицы Excel и перенесем данные по содержанию Na2O из первой таблицы в столбец А. Если Вы имеете дело с данными в формате Word, для этого достаточно выделить нужные столбцы, зажимая клавишу CTRL, скопировать в буфер, выделить на листе Excel одну ячейку (в нашем случае выделена ячейка А1) и выбрать опцию «Вставить». Данные займут диапазон А1:А80.

Построим равноинтервальный ряд (как в примере 1.2). Значение, вычисленное по формуле Стерджесса, равно 7,322; выберем число интервалов k=8 (выбор обусловлен более удобным значением длины интервала). Кроме того, вычислим выборочное среднее значение при помощи функции СРЗНАЧ и оценку генерального среднего квадратического (стандартного) отклонения, использовав сочетание функций КОРЕНЬ(ДИСП).

Теперь вычислим теоретические частости попадания нормально распределенной величины в карманы построенного интервального ряда. Для первого интервала вычислим разность значений функции нормального распределения в верхней границе интервала, указанной в ячейке С11, и в нижней, равной минимальному значению в выборке и указанному в ячейке D3. Таким образом, в ячейке Е11 надо ввести формулу

=НОРМРАСП(C11;D7;D8;1)-НОРМРАСП(D3;D7;D8;1)

Аналогично, для следующего интервала в ячейке Е12 введем формулу

=НОРМРАСП(C12;D7;D8;1)-НОРМРАСП(С11;D7;D8;1).

Чтобы для следующих интервалов не набирать формулу заново, зафиксируем в последней набранной формуле ячейки D7 и D8 при помощи значка $ и скопируем ее содержимое в ячейки Е13-Е18, «потянув» за правый нижний уголок ячейки Е12:

Чтобы получить теоретические частоты, умножим частости на объем выборки. В ячейке F11 введем

=E11*80

и «растянем» результат на диапазон F11:F18. Заметим что, поскольку теоретически нормально распределенный признак может принимать любые действительные значения, сумма теоретических частот для данных интервалов будет меньше объема выборки.

И наконец, вычислим значение функции ХИ2ТЕСТ применительно к массивам частот в ячейке D21:

Полученное значение 0,86 означает, что оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения нет, поскольку значение больше уровня значимости 0,05. Более того, степень соответствия нормальному закону довольно велика.

Чтобы проверить теперь данные второй выборки на соответствие нормальному закону распределения, достаточно заменить массив данных в диапазоне А1:А80 на данные из таблицы 3.2; все значения будут автоматически пересчитаны. Полученное значение ХИ2ТЕСТ равно 0,49, то есть оснований отвергнуть гипотезу о нормальности нет, но степень соответствия ниже, чем в первом случае.

Аналогичным образом при помощи функции ХИ2ТЕСТ проверяют непротиворечивость экспериментальных данных другим законам распределения, например, закону Пуассона (в этом случае теоретические частости вычисляются при помощи функции ПУАССОН)

Проверка гипотез о равенстве средних

Важнейшим вопросом, возникающим при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между этими выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве генеральных средних. Необходимость сравнения средних изучаемых свойств объектов возникает в широком спектре задач. Например, проверка гипотезы о равенстве средних содержаний полезного компонента, рассчитанных по рядовым и контрольным пробам (произведенным другим, более надежным, но обычно более дорогим и трудоемким способом), позволяет объективно решить вопрос о наличии или отсутствии систематических ошибок в результатах рядового опробования.

Для решения подобных задач используются параметрические и непараметрические критерии согласия.

Из параметрических критериев наибольшей популярностью при проверке гипотез о равенстве генеральных средних (математических ожиданий) пользуется t-критерий Стьюдента. Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних относятся к одной и той же совокупности. Если эта вероятность р ниже уровня значимости, то принято считать, что выборки относятся к двум разным совокупностям.

При использовании t-критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних (например, при использовании двух разных методов измерения), используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

В обоих случаях должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп и равенства дисперсий в сравниваемых совокупностях. Однако на практике корректное применение t-критерия Стьюдента для двух групп часто бывает затруднительно, поскольку достоверно проверить эти условия удается далеко не всегда. Существует также вариант критерия Стьюдента для нормально распределенных совокупностей с разной дисперсией, его мощность несколько ниже.

Для оценки достоверности отличий по критерию Стьюдента принимается нулевая гипотеза, что средние выборок равны между собой. Затем вычисляется значение вероятности того, что изучаемые события (например, количества реализованных путевок в обеих выборках) произошли случайным образом.