Задачи

для самостоятельного решения

“Элементы квантовой механики”

1. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре 300К.

Ответ: 145 пм.

2. Рассмотрим мысленный эксперимент. Пусть монохроматический пучок электронов с энергией 20 эВ падает на щель шириной 0,5 нм. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью, равной ширине щели. Оценить (по порядку величины) получающуюся при этом относительную неточность в определении энергии электрона, прошедшего щель (ΔE/E).

Варианты ответов:

1) 100; 2) 0,1; 3) 10; 4) 1000

3. Электрон с кинетической энергией, равной 15 эВ, находится в металлической пылинке диаметром 1 мкм. Оценить (по порядку величины) относительную неопределенность, с которой может быть определена скорость электрона ().

Варианты ответов:

1) 102; 2) 10-4; 3) 10-10; 4) 10-16.

4. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неопределенность импульса этой частицы.

Варианты ответов:

1) 100; 2) 106; 3) 10--6; 4) 10-1.

5. Электрон и фотон имеют каждый кинетическую энергию, равную 24

эВ. Во сколько раз дебройлевская длина волны электрона меньше длины волны фотона?

Ответ: λе /λф = 4,8·10-3.

6. Определить длину волны де Бройля (в ангстремах) для электрона, движущегося по орбите номер 1 в атоме водорода (1 ангстрем = 10-10м).

Ответ: λБ = 3,33·10-10 = 3,33А.

7.  Определить отношение неопределённостей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10-5 м, и пылинки массой m = 10-12 кг, если её координата установлена с такой же точностью.

Ответ: Dυe / Dυп = 1,1×10-18.

8.  Пусть моноэнергетический пучок электронов с энергией 20 эВ падает на щель шириной 0,5 нм. Можно считать, что если электрон прошёл через щель, то его координата известна с неточностью, равной ширине щели. Оценить с помощью соотношения неопределённостей получающуюся при этом относительную неточность в определении энергии электрона, прошедшего щель.

Ответ: DE / E = 0,174.

9. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре равна 10 МэВ, определите с помощью соотношения неопределённостей линейные размеры ядра. Массу нуклона принять равной 10-27 кг.

Ответ: l = 2,9×10-15 м.

(Указание: Минимальному значению энергии соответствует минимальное значение импульса Emin= p2min / 2m. Физически разумная неопределённость импульса Dр не должна превышать значение самого импульса, следовательно, можно считать, что Dpmin = pmin.. Тогда Emin = (Dpmin)2 / 2m, откуда находим неопределённость импульса Dpmin).

10. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона с длиной волны 640 нм?

Ответ: 8,25·106 м/с.