Тема 3. Открытые оптические резонаторы (стр. 3 )

Тогда для основной моды получим:

, (9.15)

а для поперечных:

. (9.16)

Для He-Ne лазера (633 нм) при W0 = 0,5 м получим для TEM00 .

3. Устойчивость резонатора

В данном разделе рассмотрим вопрос, все ли резонаторы способны поддерживать внутри себя некий набор устойчивых во времени конфигураций поля – мод резонатора. Другими словами, поскольку параметры резонатора определяются радиусами кривизны двух зеркал и расстоянием между ними, то для всех ли возможных значений этих параметров можно получить стационарные решения (9.11) и (9.12).

3.1. Распространение гауссова пучка в пространстве

Получим сначала несколько удобных для практического использования соотношений, касающихся изменения комплексного параметра q при распространении гауссова пучка в пространстве.

Рассмотрим сначала свободное распространение гауссова пучка вдоль некоторого направления z. Во-первых, запишем выражение для комплексного параметра гауссова пучка в следующем виде:

, (10.1)

где

. (10.2)

Из (10.1) следует, что . Поэтому, если в плоскости z1 комплексный параметр имел значение q(z1), то в плоскости z2 = z 1 + z:

. (10.3)

Отметим, что в случае распространения в пространстве сферической волны полученное выражение аналогично выражению для изменения радиуса кривизны волнового фронта сферической волны:

. (10.4)

Рассмотрим теперь прохождение гауссова пучка через линзу, фокусное расстояние которой равно f. Будем считать линзу тонкой – это означает, что размеры пучка до и после линзы совпадают. Для определения изменения радиуса кривизны волнового фронта рассмотрим вначале прохождение через тонкую линзу сферической волны. Если сферическая волна исходит из точки 1 и фокусируется линзой в точку 2, то радиусы кривизны R1 и R2 до и после линзы связаны соотношением:

. (10.5)

Аналогичным образом связь между радиусами кривизны гауссова пучка определяется этим же соотношением. Таким образом, мы имеем:

, , (10.6)

Поскольку линза тонкая, то можно считать, что W1 = W2. Тогда:

, (10.7)

и, с учетом (10.5), получаем окончательное соотношение:

. (10.8)

Заметим, что аналогичное соотношение получается и при отражении гауссова пучка от зеркала с фокусным расстоянием f.

Вообще говоря, для произвольного случая распространения гауссова пучка через некую оптическую систему можно сформулировать так называемую ABCD-теорему: если гауссов пучок на входе оптической системы характеризуется комплексным параметром q1, то на выходе из этой системы параметр пучка q2 запишется в виде:

, (10.9)

где A, B,C, D – оптические постоянные данной системы.

Уже не раз отмечалось, что возможность или невозможность существования в резонаторе собственных типов колебаний, а также их пространственные и частотные характеристики определяются дифракционными потерями. Резонаторы с малыми дифракционными потерями называют устойчивыми, а с большими – неустойчивыми.

3.2. Условие устойчивости резонатора

Условие устойчивости можно сформулировать следующим образом. Резонатор устойчив, когда при попеременном отражении от зеркал резонатора происходит такая фокусировка распространяющегося в нем излучения, что энергия излучения не выходит из резонатора. В неустойчивом резонаторе гауссов пучок не фокусируется, и при каждом проходе существенная доля энергии излучения выходит из резонатора.

Таким образом, в устойчивом резонаторе имеется стационарное распределение поля в пространстве, которое повторяется при многократном проходе излучения между зеркалами резонатора и имеет малые дифракционные потери.

Дифракционные потери зависят от геометрии резонатора – формы, размеров и радиусов кривизны зеркал, расстояния между зеркалами. Получим аналитическое выражение для критерия устойчивости резонатора, отражающее влияние геометрических параметров резонатора на уровень дифракционных потерь.

Условие устойчивости можно получить различными способами. Однако наиболее простой и наглядный вывод устойчивости можно провести, используя приближение геометрической оптики.

Рассмотрим резонатор длиной L, зеркала которого имеют радиусы кривизны R1 и R2. Пространственная конфигурация гауссова пучка в резонаторе определяется комплексным параметром q. Тот факт, что распределение поля в устойчивом резонаторе должно сохраняться, означает, что величина q должна оставаться неизменной во времени.

Пусть гауссов пучок распространяется от зеркала 1 к зеркалу 2 и на поверхности зеркала 1 имеет величину комплексного параметра q1. Тогда в соответствии с соотношениями, полученными для распространения гауссова пучка в пространстве, после прохода через резонатор на поверхности зеркала 2:

. (10.10)

После отражения от зеркала 2:

, (10.11)

где – фокусное расстояние зеркала 2.

Далее:

, (10.12)

и после завершения двойного прохода:

. (10.13)

После арифметических преобразований окончательно получаем:

. (10.14)

Мы получили квадратное уравнение относительно q1, решение которого имеет следующий вид:

. (10.15)

Поскольку гауссов пучок всегда имеет конечную ширину W, то комплексная часть полученного выражения не может быть отрицательной или равной нулю. Это как раз и будет означать, что резонатор является неустойчивым. Тогда для выполнения условия устойчивости необходимо, чтобы:

. (10.16)

Это выражение накладывает ограничения на возможные значения параметров резонатора, о чем и говорилось в начале раздела. Однако из полученного выражения видно, что радиусы кривизны зеркал входят в него несимметрично, что не должно быть правильным в условиях осевой симметрии резонатора. Дело в том, что мы в самом начале нарушили симметрию, задав направление обхода резонатора от левого зеркала к правому. Выбирая противоположное направление обхода, аналогичным образом получим:

. (10.17)

Совместное решение (10.16) и (10.17) приводит к соотношению:

. (10.18)

Введем величину , i = 1, 2. Тогда окончательно условие устойчивости резонатора будет выглядеть следующим образом:

. (10.19)

3.3. Диаграмма устойчивости резонатора

Диаграмма устойчивости приведена на слайде, на которой области устойчивости резонатора заштрихованы. В качестве частных случаев отметим резонаторы с симметричными зеркалами, величины g для которых лежат на прямой AC. Для точек A, B и C резонаторы имеют свои названия, и в таблице (см. слайд) приведены их параметры характеристики.

Заметим, что поскольку неравенства (10.19) строгие, то границы областей устойчивости, включая координатные оси, соответствуют неустойчивым резонаторам.

Не следует считать, однако, что только устойчивые резонаторы могут использоваться в лазерах. Несмотря на большой уровень потерь в неустойчивых резонаторах и, как следствие, невозможность получения устойчивых типов колебаний в них, эти резонаторы представляют большой интерес для лазерной техники. Это связано с возможностью получать в неустойчивых резонаторах (как, например, в плоскопараллельном) больших величин сечений гауссовых пучков, что позволяет более эффективно использовать объем активной среды.

Кроме того, в неустойчивых резонаторах достаточно просто обеспечивается селекция поперечных мод, а также создаются условия для дифракционного вывода излучения из резонатора.

Особенно заметно прогресс в этой области начал ощущаться после создания мощных лазеров, в которых удается достигать больших величин коэффициентов усиления активной среды.

4. Параметры гауссовых пучков, спектр поперечных мод резонатора

Полученные результаты позволяют легко получить выражения для основных параметров гауссова пучка – размера поля на зеркалах, положение и размер перетяжки – через параметры резонатора: его длину и радиусы кривизны зеркал.