Тема 3. Открытые оптические резонаторы (стр. 4 )

Знание именно этих параметров позволяет, как правило, делать вывод о возможности использования данного резонатора для получения заданных характеристик лазерного излучения.

4.1. Размер поля на зеркалах резонатора, параметры перетяжки

Прежде всего заметим, что выражение (10.15) для комплексного параметра получено для поверхности волнового фронта гауссова пучка на одном из зеркал. Сравнивая (10.15) с исходным выражением для комплексного параметра, получаем для размера поля на зеркалах:

. (11.1)

Для нахождения положения и размера перетяжки запишем следующую систему уравнений (ноль по координате z выберем в плоскости расположения перетяжки):

(11.2)

Отсюда находим значения интересующих нас параметров:

; . (11.3)

В частном случае конфокального резонатора:

; ; , (11.4)

а в случае концентрического резонатора (R1 = R2 = R):

; ; . (11.5)

Резонаторов с произвольными размерами и радиусами кривизны зеркал существует бесчисленное множество. Однако для исследования каждого резонатора необязательно всякий раз составлять и решать интегральные и волновые уравнения.

4.2. Эквивалентный конфокальный резонатор

Приблизительный уровень дифракционных потерь и пространственные характеристики гауссовых пучков можно оценить, используя понятие эквивалентного конфокального резонатора (ЭКР). ЭКР – это такой резонатор, в котором поверхности равной фазы совмещены с поверхностями зеркал исследуемого резонатора. Радиус кривизны ЭКР (а следовательно, и его длина) определяется через параметры исследуемого резонатора следующим образом:

. (11.6)

Зеркала ЭКР располагаются симметрично в плоскостях:

. (11.7)

Расчет параметров пучка произвольного резонатора проводится тогда по формулам для конфокального резонатора с радиусом кривизны ЭКР.

Дифракционные потери оцениваются по графикам, изображенным на слайде, где в качестве числа Френеля берется число Френеля ЭКР:

. (11.8)

4.3. Спектры продольных и поперечных мод

Вернемся к вопросу о спектре мод резонатора. Напомним, что спектр продольных мод резонатора был получен из условия равенства длины резонатора целому числу длин полуволн электромагнитного поля. В более общем виде для произвольной пространственной конфигурации электромагнитной волны, имеющей фазу, определяемую соотношениями (9.11) и (9.12), условие существования стоячей волны в резонаторе можно сформулировать так: разность фаз, соответствующая проходу волны через резонатор, должна быть qp (q – целое число).

Рассмотрим сначала моду TEM00. С учетом того, что величина комплексного параметра для устойчивого резонатора не меняется при распространении волны в резонаторе, получаем:

, (11.9)

где z1(2) – координаты зеркал.

Воспользуемся соотношением:

, (11.10)

поскольку x, y ~ 1, xy << 1.

Далее выразим величины z1(2) и W0 через параметры резонатора (см. (11.3)), после чего окончательно получим:

. (11.11)

Полученное выражение похоже на выражение (8.2). Так, расстояние между частотами продольных мод не меняется: . Однако, наличие фазовой добавки в выражении для амплитуды поля (9.12) приводит к эквидистантному сдвигу для всех частот на величину.

Проведя аналогичные рассуждения, для частот поперечных мод получим:

. (11.12)

Из этого выражения можно сделать несколько наглядных выводов.

Во-первых, при фиксированном значении m + n расстояние между соседними продольными модами по-прежнему составляет c/2L.

Во-вторых, при фиксированном значении q разность частот между поперечными модами определяется разностью . Поэтому частоты различных поперечных мод совпадают, например: , . При этом разность частот между поперечными модами определяется конфигурацией резонатора:

. (11.13)

Для устойчивых конфигураций резонаторов значение меняется от 0 до 0,5. Поэтому для фиксированного q между соседними продольными модами может располагаться несколько поперечных мод.

Интересным представляется рассмотреть спектр мод конфокального резонатора. Для него:

, (11.14)

Это означает, что спектр мод конфокального резонатора представляет собой набор эквидистантных частот с расстоянием между соседними частотами c/4L.

4.4. Затягивание частоты излучения лазера

В заключении раздела рассмотрим явление, которое является затягиванием частоты излучения лазера, а также вопрос о минимальной ширине спектра излучения лазера, которая обусловливает предел достижения монохроматичности.

В предыдущем разделе установлено, что моды резонатора, имеющие частоты , имеют конечную спектральную ширину, определяемую выражением (8.13). Рассмотрим теперь лазер, излучающей на одной моде, частота которой не совпадает с центральной частотой лазерного перехода с шириной , и найдем частоту генерации и ее ширину , то есть ширину выходного спектра излучения лазера.

Оказывается, что частота не совпадает с , а равна некоторому промежуточному значению между и . Говорят, что частота генерации затягивается по направлению к центральной частоте. Это явление так и называется затягиванием частоты излучения лазера. Можно показать, что как для однородно, так и для неоднородно уширенной линии частота генерации может быть определена следующим образом:

. (11.15)

Для ее ширины справедливо следующее выражение:

, (11.16)

где (N1, N2 – населенности нижнего и верхнего лазерных уровней соответственно, Pвых – выходная мощность излучения лазера).

Рассмотрим пример неоднородно уширенной линии. Для большинства газовых лазеров величина составляет порядка 1 ГГц, а для твердотельных может достигать 300 ГГц. В то же время, как мы видели, составляет единицы и десятки мегагерц. Следовательно, >> и затягивание частоты невелико.

Для оценки величины рассмотрим лазер с выходной мощностью 1 мВт (например, He-Ne лазер), с величиной =10 МГц. Тогда получим, что величина для длины волны излучения гелий-неонового лазера 633 нм меньше 1 Гц, а отношение .

Теперь предположим, что длина резонатора лазера составляет 1 м. Тогда, поскольку , то при получаем см. Это ничтожно малое изменение длины, приблизительно в 105 раз меньшее размера атома, уже приводит к изменению частоты моды резонатора и частоты генерации на величину порядка 1 Гц. На практике же длина резонатора меняется на много порядков больше, например, из-за вибрации или неоднородности температуры. Поэтому реальная ширина генерации оказывается существенно большей и составляет единицы и десятки килогерц: .