Теория статистики (стр. 3 )

Средние величины в статистике

Средняя величина обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленными случайными обстоятельствами.

Общие принципы применения средних величин:

1.  Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

2.  При определении средней величины необходимо исходить из качественного содержания усредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков.

3.  Средняя величина должна рассчитываться по однородной совокупности.

4.  Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

Средние величины делятся на два больших класса:

1.  Степенные средние; к ним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая;

2.  Структурные средние, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя считается по негруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где – значение осредняемого признака;

– показатель степени средней;

– объем выборки.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

где – значение осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

– количество значений признака или количество интервалов группирования;

– показатель степени средней;

– частота, показывающая, сколько раз встречаются -е значения осредняемого признака.

Общие формулы расчёта степенных средних имеют показатель степени (). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних, представленных в таблице.

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показа-тель степени ()	Формула расчёта
Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая	0
Арифметическая	1
Квадратическая	2
Кубическая	3

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Расчет средних по результатам группировки

Очень часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде, когда для каждого значения усредняемого признака Х сообщается частота его повторения. В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (арифметических или гармонических). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признака Х по каждой группе, а лишь интервал его изменения. В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если удается получить среднее значение признака по каждой группе. Если же это сделать невозможно, то их заменяют серединами интервалов. Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле

, где .

Отметим, что расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвешивающего показателя.

Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет:

1.  Величина средней арифметической не изменится, если веса всех вариантов умножить или разлить на одно и то же число.

2.  Если все индивидуальные значения признака (все варианты) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то среднее значение получившегося нового признака будет во столько же раз отличаться от среднего значения исходного показателя.

Структурные средние

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака, и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Рассмотрим случай, когда значения признака Х представлены в виде интервальных рядов. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные части, оно оказывается в одном из интервалов признака Х. С помощью интерполяции в этом медианном интервале, находят значение медианы:

,

где ХMe – верхняя граница предмедианного интервала (начало медианного);

hMe – величина медианного интервала;

- половина от общего числа наблюдений.

- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

- число наблюдений в медианном интервале.

Тема 5. Показатели вариации

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака

,

где – наибольшее значение варьирующего признака;

– наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.

– невзвешенное среднее линейное отклонение.

Показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения являются общепринятыми мерами вариации и широко используются в статистических исследованиях.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

– невзвешенная;

– взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней.