E11=u’+k1w, E22=v*+yu+k2w, E12=u’+u*-yv, E13=j1-q1, E23=j2-q2,

K11=j1*, K22=j2*+yj1, K12=j2’+j1*-yj2, q1=k1u-w’, q2= k2v-w*,

( )’= , ( )*= , y= .

(2)

Далее приводятся полученные из вариационного принципа Гамильтона уравнения гармонических установившихся вынужденных колебаний. В связи с этим все соотношения имеют зависимость от времени t: Fj(a1,a2,t)=F*j(a1,a2), где ={u, j1, n, j2, w, E11, E22, E12, K11, K22, K12, T11, T22, S, M11, M22, H}; Fj* – комплексная амплитуда Fj; w – круговая частота колебания вынуждающей нагрузки.

T11’+y(T11-T22)+S*+k1Q11+w2(bu+cj1)+p1=0,

S’+2yS+T22*+k2Q22+w2(bv+cj2)+p2=0,

Q11’+yQ11+Q22*-k1T11-k2T22+w2bw+p3=0,

M11’+y(M11-M22)+H*-Q11+w2(cu+dj1)=0,

H’+2yH+M22*-Q22+w2(cv+dj2)=0.

(3)

Граничные условия представляются в следующей форме:

При a1=0 :

u(1-g1)+T11g1=0, v(1-g2)+Sg2=0,

j1(1-g3)+M11g3=0, w(1-g4)+Q11g4=0,

j2(1-g5)+Hg5=0.

При a1=L :

u(1-g6)+T11g6=0, v(1-g7)+Sg7=0,

j1(1-g8)+M11g8=0, w(1-g9)+Q11g9=0,

j2(1-g10)+Hg10=0.

(4)

Полагая gi (i=1...10) 0 или 1, обеспечим выполнение статических или кинематических граничных условий.

Во втором параграфе приведены определяющие соотношения для анизотропного материала при наличии плоскости упругой симметрии и соответствующие выражения для усилий и моментов, в частности:

T11=B11E11+B12E22+A11K11+A12K22+2L16E12+2N16K12;

M11=A11E11+A12E22+D11K11+D12K22+2N16E12+2R16K12;

Q11=J13E13+ J45E23.

(5)

Соотношения для T22, S, M22, H, Q22 определяются аналогичным образом.

Для оценки диссипативных свойств и демпфирующей способности композитной оболочки в третьем параграфе вводится в рассмотрение коэффициент поглощения энергии k, определяемый как:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

(6)

где D – энергия, поглощаемая в теле оболочки за период колебаний, П – среднее значение за период колебаний полной механической энергии.

В четвертом параграфе полученная система уравнений приводится к безразмерному виду.

Во второй главе осуществляется построение разрешающей системы уравнений. Изложен численный метод и алгоритмы его реализации. Первый параграф посвящен приведению двумерных уравнений несимметричных колебаний к квазиодномерному виду на основе разложения переменных по окружной координате в ряды Фурье c комплексными коэффициентами:

X(a1,a2)= .

(7)

Во втором параграфе вводятся эффективные физико-механические характеристики волокнистого композита, определяемые по характеристикам составляющих его изотропных компонент: Ef , νf – модуль Юнга и коэффициент Пуассона упругого волокна, Vf – доля объемных включений волокна в композите. Термовязкоупругие свойства полимерной изотропной матрицы для случая малых колебаний определяются через комплексные аналоги модуля Юнга и коэффициента Пуассона (Em, νm, Vm=1-Vf). Матрица жесткости в общем случае находится с помощью формул преобразования системы координат.

В третьем параграфе получена полная разрешающая комплекснозначная система дифференциальных уравнений двадцатого порядка, приведенная к нормальному типу:

(i=1..20).

Разрешающими функциями являются:

y1=T11(+1); y2=S(-1); y3=M11(+1); y4=Q11(+1); y5=H(-1); y6=u(+1); y7=v(-1); y8=j1(+1); y9=w(+1); y10=j2(-1); y11=T11(-1); y12=S(+1); y13=M11(-1); y14=Q11(-1); y15=H(+1); y16=u(-1); y17=v(+1); y18=j1(-1); y19=w(-1); y20=j2(+1).

(8)

В четвертом параграфе приводится краткое описание модели полимерного материала, разработанной в НИИМиПМ им. (, , ). В ней формируется зависимость упругих и реологических характеристик от температуры и частоты нагружения, отличная от традиционной температурно-временной аналогии. Компоненты комплексной податливости при сдвиге , представляются функциями круговой частоты w=2pf:

, ,

(9)

где C (r), H (r) – весовые функции, j (r, u, T) – функция частотного спектра, u(r, P, T), G(r, u, T) – удельный объем и модуль сдвига фазового компонента r.

Пятый параграф содержит описание численного метода решения краевых задач с помощью перехода к решению задач Коши. При этом используется устойчивый метод ортогональной прогонки в сочетании с методом Рунге-Кутта с автоматизированным выбором шага интегрирования. Для исследования связанной задачи термовязкоупругости построен итерационный процесс решения нелинейных уравнений: , (i=1...14). Линеаризация по схеме переменных параметров в k-ом приближении приводит к зависимостям: , причем , T0=T0, q0=0.

В шестом параграфе дается краткое описание функций и процедур вычислительного комплекса.

Третья глава посвящена численным исследованиям колебаний цилиндрической композитной оболочки в зависимости от структурных параметров композита и механических характеристик волокна и матрицы.

В первом параграфе рассмотрено влияние угла армирования волокон b в матрице композита на уровни вибраций собственных частот колебаний цилиндрической оболочки. Рассмотрен пятислойный композит с нечетными слоями расположенными под углом +b к оси симметрии, и четными слоями – под углом -b (рис.1).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4