Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Поэтому 
, и вершину 
можно включать во множество старых вершин. После этого необходимо скорректировать текущие длины путей для оставшихся новых вершин 
: 
.
Процесс поиска кратчайших путей продолжается, пока все вершины графа не станут старыми. Поиск можно прекратить, если на некотором шаге все 
– это означает, что оставшиеся новые вершины недостижимы из источника 
.
, т. е. 
новой вершины на каждом шаге определена старая вершина – предыдущая в пути. Сохраняя ссылки на предыдущие вершины, можно получать не только 
, но и соответствующие им пути.
Для добавления к 
вершины производится локально оптимальный выбор 
, не закрывающий путь к оптимальному решению для остальных новых вершин.
=>
Выполнены условия, позволяющие реализовать эффективный жадный алгоритм поиска всех кратчайших путей из одной вершины-источника.
Ниже в алгоритме используются рабочие массивы:
old[1…n] – логический – отметки старых\новых вершин,
d[1…n] – вещественный – текущие веса путей из источника,
pred[1…n] – целый – номера предыдущих вершин в пути.
Алгоритм Дейкстры (все пути из одного источника , 
):
for (i = 1; i <= n; i++)
{ old[i] = false; d[i] = C[s][i]; pred[i] = s; }
old[s] = true; d[s] = 0; // нач. значения
for (i = 1; i < n; i++) {
w = 0; cw = MAX;// поиск ближайшей новой точки
for (j = 1; j <= n; j++)
if (!old[j] && d[j]<cw) { cw=d[j]; w = j; }
if (w == 0) break; // новые не достижимы из s
old[w] = true;
for (j = 1; j <= n; j++)// модификация d, pred
if (!old[j]) {
cw = d[w] + C[w][j];
if (d[j]>cw) { d[j]=cw; pred[j] = w; }
}
}
Оптимальный (кратчайший) путь в вершину проходит через вершины, для которых оптимальный путь был найден раньше (т. е. ставшие старыми раньше, чем ).
Если на некотором шаге становится старой, то никакие новые вершины не попадут в оптимальный путь для .
вершины 
одна ссылка на непосредственного предка в оптимальном пути – по данным ссылкам можно отследить весь оптимальный путь (назад, вплоть до источника).
Трудоемкость алгоритма Дейкстры составляет 
.
Алгоритм непригоден в случае отрицательных весов дуг (использовать алгоритм Беллмана-Форда).
Алгоритм Флойда-Уоршолла (кратчайшие пути между всеми парами вершин)
Для ориентированного графа 
задана матрица весов дуг 
, 
, 
, 
, если 
.
Рассмотрим последовательность матриц 
, элементы которых определяются рекуррентно:
– это вес пути из 
в , в котором в качестве промежуточных могут использоваться только вершины из множества 
, к-рые могут следовать в произвольном порядке и не обязательно все 
(число дуг в пути 
).
Докажем, что – вес кратчайшего пути из в при заданных ограничениях на промежуточные вершины (по МИ):
1. Базис 
– очевидно.
2. Пусть 
– вес кратчайшего пути из в , проходящего только через вершины 
(зеленые).
На следующем шаге кратчайший путь либо останется прежним (
), либо обязательно пройдет через вершину (если 
).
 |
В последнем случае на путях из в и из в не может быть совпадающих промежуточных вершин (в противном случае последнее неравенство не выполняется).
=> – действительно вес кратчайшего пути, проходящего только через вершины из мн-ва .
=> 
– искомые веса кратчайших путей.
Расчет весов всех кратчайших путей (исп-ся одна матрица):
for (l = 1; l <= n; l++)
for (i = 1; i <= n; i++)
if (C[i][l] < MAX)
for (j = 1; j <= n; j++)
C[i][j] = min(C[i][j], C[i][l]+C[l][j]);
Трудоемкость алгоритма составляет 
.
Алгоритм Флойда-Уоршолла – пример использования динамического программирования.
Условия, при которых применимо ДП:
- оптимизационная задача, для которой выполняется свойство оптимальности для подзадач;
- относительно небольшое (полиномиальное от длины входа) число различных подзадач;
- многократное решение одних и тех же подзадач при поиске общего решения на основе полного перебора вариантов – перекрывающиеся подзадачи.
Порядок решения задачи с помощью ДП:
- описать структуру оптимальных решений задачи и подзадач;
- найти рекуррентное соотношение, связывающее оптимальные параметры\решения подзадач разных уровней;
- двигаясь снизу вверх, от подзадач самого низкого уровня, вычислять их оптимальные параметры\решения только один раз и сохранять результаты в специальной таблице;
- использовать данные из таблицы при поиске оптимального параметра\решения подзадач следующего уровня.
Пояснение для алгоритма Флойда-Уоршолла, сравнение с методами «разделяй и властвуй» и жадным.
Транзитивное замыкание графа
ТЗ ориентированного графа – это такой орграф 
, в котором между двумя вершинами дуга, если в исходном графе между ними путь.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
Основные порталы (построено редакторами)