Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
9. Существует ли треугольник, у которого все стороны и все высоты измеряются целым числом сантиметров?
10. Разрежьте квадрат а) на равные квадраты; б) на равные треугольники, из которых составьте два различных квадрата.
Определение Перекроить = разрезать на части и сложить из них.
11. Перекроите квадрат в 8 равных квадратов.
12. Перекроите квадрат а) в три квадрата; б) в три различных квадрата.
13. Разрежьте прямоугольник 1´5 на 5 частей, из которых сложите квадрат.
14. Перекроите квадрат в 5 равных квадратов.
15. * Разрежьте квадрат на равные части, из которых сложите три различных квадрата.
Для самостоятельного решения
1. Пусть каждая спичка имеет длину 1 дюйм. Пользуясь лишь угольником, сложите из 12 таких спичек одну фигуру площади 4 кв. дюйма.
2. Перекроите квадрат в три равных меньших квадрата.
3. Пусть 
. Перекроите квадрат со стороной c в два квадрата со сторонами a и b (число частей не должно зависеть от a и b).
4. Перекроите квадрат в правильный треугольник.
Самостоятельная работа – 1
С1) Как изменятся частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?
С2) Про семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.
С3) Обозначим s(x) сумму цифр числа x. Пусть a=9999, b=s(a), c=s(b), d=s(c). Чему равно d?
С4) Пусть a и b – целые числа, и 
делится на 11. Докажите, что 
тоже делится на 11.
С5) Существует ли число вида 11…1, которое делится на 1999?
Графы – 2: определения, лемма о рукопожатиях, связность.
Определение 1. Скажем, что задан граф, если задано множество его вершин и про любую пару вершин сказано, связаны они ребром или нет (будем рассматривать только пары из двух различных вершин). Граф конечный, если число вершин в нем конечно.
Примеры. а) Граф знакомств: вершины – школьники, ребра – знакомства. б) Карта: вершины – страны, ребра – пары стран с общим участком границы. в) города и дороги; г) граф короля (коня, ладьи, ферзя…): вершины – клетки, ребра – пары клеток, связанных ходом короля (коня, ладьи, ферзя…).
Упр1. Сколько всего ребер в графе ладьи?
Упр2. Каково наибольшее возможное число ребер в графе с n вершинами?
Определение 2. Степень вершины – это число выходящих из нее ребер.
Упр3. Какова наибольшая степень вершины в графах а) коня; б) ферзя?
Зад4. Сколько всего ребер в графе короля?
Лемма 5. Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер.
Лемма 6 (о рукопожатиях). В конечном графе число вершин нечетной степени – четно.
Зад7. Верна ли лемма о рукопожатиях для бесконечного графа?
Упр8. Можно ли расположить на столе 7 монет так, чтобы каждая касалась ровно трех других?
Определение 3. Граф называется связным, если между любыми двумя его вершинами есть путь по ребрам (как по дорогам).
Упр9. При каких n граф коня на доске n´n не связный?
Зад10. В стране Оз 15 городов, каждый из которых соединен авиалиниями не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно самолетом добраться до любого другого (возможно, с пересадками).
Определение 4. Подграф, состоящий из всех вершин, связанных с данной маршрутом, и всех ребер, входящих в такие маршруты, называется компонентой связности.
Упр11. На сколько компонент связности распадается граф слона?
Зад12. Турист приехал на вокзал и отправился гулять по улицам Москвы. Докажите, что он в любой момент может вернуться на вокзал, проходя только по тем участкам улиц, по которым он уже проходил нечетное число раз.
Зад13. В Зазеркалье из Котельнича выходит 2001 дорога, из деревни Вишкиль – одна, а из всех остальных городов по 1000 дорог. Докажите, что из Котельнича по дорогам можно попасть в деревню Вишкиль.
Зад14. В связном графе степень каждой вершины четна. Одно ребро удалили (оставив, однако, вершины на его концах). Докажите, что граф остался связным.
Для самостоятельного решения
Зад15. 15 команд играют турнир в один круг. Докажите, что в некотором матче встретятся команды, сыгравшие перед этим в сумме нечетное число матчей.
Зад16. В стране любые два города соединены либо железной дорогой, либо авиалинией. Докажите, что один из этих двух видов транспорта позволяет добраться из любого города в любой (возможно с пересадками).
Зад17. Можно ли подобрать компанию, где у каждого ее члена было бы пять друзей, а у любых двух – ровно два общих друга?
Зад18. Докажите, что из каждого связного графа можно удалить одну вершину и все выходящие из нее ребра так, что останется связный граф.
Геометрические неравенства
Зад1. Внутри квадрата ABCD найдите все такие точки X, что AX+CX = BX+DX.
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема 3. Если AH – высота в треугольнике ABC, то AB>AC Û HB>HC.
Лемма 4. Внутри треугольника ABC дана точка O. Докажите, что 
.
Теорема 5. Если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего – меньше.
Зад6. Докажите, что в четырехугольнике сумма длин сторон
а) меньше удвоенной суммы длин диагоналей;
б) больше суммы длин диагоналей.
Зад7. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы его сторон, выходящих из той же вершины.
Зад8. Построить треугольник наименьшего периметра по данному основанию и опущенной на него высоте.
Зад9. Три дома соединены дорожками. Внутри треугольника, образованного дорожками, построена беседка. От беседки к каждому из домов ведет прямая тропинка. Требуется заасфальтировать либо все дорожки, либо все тропинки. Доказать, что а) на тропинки уйдет меньше асфальта, б) а если их покрывать асфальтом в два слоя, то больше.
Зад10. Дан угол и точка внутри него. Она отражается симметрично относительно сторон угла, и получившиеся точки соединяются отрезком. Докажите, что часть этого отрезка, высекаемая углом, составляет меньше половины его длины.
Зад11. Докажите, что в треугольнике со сторонами a, b,c
а) 
Û угол C – острый;
б) 
Û угол C – тупой.
Для самостоятельного решения
Зад12. Существует ли выпуклый многоугольник, в котором сумма длин диагоналей равна периметру?
Зад13. В правильный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра так, чтобы его вершины попали на разные стороны, а одна – в середину стороны.
Зад14. На биссектрисе угла отмечена точка. Провести через нее отрезок минимальной длины с концами на сторонах угла.
Зад15*. Найти внутри остроугольного треугольника точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Делимость, остатки – 2
Лемма 1. Пусть a – целое, b – натуральное число. Тогда a можно единственным образом представить в виде a=kb+r, где k и r – целые, 0£r<b.
Определение 1. Число k в лемме 1 называется (неполным) частным, а число r – остатком при делении a на b с остатком. Если остаток равен 0, то a делится на b (без остатка) (записывается 
).
Упр2. x=100k-16, k – целое. Чему равны частное и остаток при делении x а) на 100; б) на 5?
Упр3. Делимое и делитель увеличили в три раза. Как изменятся неполное частное и остаток?
Упр4. Разность двух чисел делится на b Û числа дают одинаковые остатки при делении на b.
Определение. В этом случае будем говорить, что числа равны по модулю b и писать 
или 
.
Зад5. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или 1.
Теорема 6 (действия с остатками). Пусть число a1 дает при делении на b остаток r1, число a2 – остаток r2. Тогда
а) (сложение остатков) Число a1+a2 при делении на b дает тот же остаток, что и число r1+r2.
б) (вычитание остатков) Число a1–a2 при делении на b дает тот же остаток, что и число r1–r2.
в) (умножение остатков) Число a1a2 при делении на b дает тот же остаток, что и число r1r2.
Зад7. Докажите, что натуральное число сравнимо а) со своей суммой цифр по модулю 9; б) со своей знакочередующейся суммой цифр по модулю 11.
Зад8. Докажите, что делится на 24
а) произведение 4 последовательных целых чисел; б) разность квадратов двух простых чисел, больших 3.
Теорема 9 (правило сокращения).
Пусть m и b – взаимно просты. Тогда 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
Основные порталы (построено редакторами)