Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Зад12. а) Преподаватель и школьник делят квадратный пирог. Преподаватель отмечает внутри пирога точку, а школьник соединяет ее отрезками со всеми вершинами квадрата и забирает себе любые два куска, не имеющие общих сторон. Как должен действовать преподаватель, чтобы получить побольше пирога?

б) Внутри квадрата отметим две точки и соединим их отрезками со всеми вершинами (см. рис. 2). Могут ли все девять полученных частей иметь одинаковую площадь?

Зад13. Внутри равностороннего треугольника выбрана точка, и из нее опущены перпендикуляры на все три стороны. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров не зависит от выбора точки.

Для самостоятельного решения

Зад14. Квадрат разрезан прямыми, параллельными его сторонам, на прямоугольники, которые раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке (см. рисунок 3). При этом оказалось, что общая площадь черных прямоугольников равна площади белых прямоугольников. Докажите, что прямоугольники можно переместить так, что все черные прямоугольники составят один прямоугольник.

Зад15. Стороны прямоугольника на шахматной доске параллельны сторонам доски. Докажите, что разность суммарных площадей белых и черных частей прямоугольника не превосходит площади одной клетки.

Зад16. Докажите неравенство для площади четырехугольника (a,b,c,d – стороны по порядку): .

Зад17. (Принцип Кавальери) а) На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника и прямая. Известно, что любая прямая, параллельная данной, пересекается с многоугольниками по отрезкам раной длины. Докажите, что эти многоугольники равновелики. б) Докажите, что два равновеликих прямоугольника можно расположить на плоскости так, что они будут пересекаться по равным отрезкам с любой прямой, параллельной данной.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Зад18. (Корректность площади: решать, не используя понятия площади) а) Прямоугольник разрезали на несколько меньших прямоугольников. Для каждого вычислили произведение длины на ширину. Докажите, что сумма этих чисел равна произведению длины на ширину исходного прямоугольника. б) Один прямоугольник лежит в другом (возможно, косо). Докажите, что у внутреннего произведение длины на ширину меньше.

Геометрические неравенства – 2

Упр1. Среди всех треугольников с данными сторонами AB и AC найдите тот, у которого наибольшая площадь.

Упр2. Из какой точки треугольника ABC сторона AB видна под наименьшим углом?

Выпрямление

Зад3. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA+MB>CA+CB.

Зад4. а) Петя хочет пройти к киоску на другой стороне улицы. Мостовую (полосу с параллельными краями) он должен пересечь под прямым углом. Постройте для него кратчайший путь. б) То же для перекрестка (см. рисунок).

Зад5. Внутри угла лежат две точки A и D. Соедините их ломаной ABCD наименьшей длины с точками B и C на разных сторонах угла.

Уменьшение суммарной длины

Упр6. Докажите, что если отрезки AB и CD пересекаются, то AC+BD<AB+CD.

Зад7. Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет бóльшую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

Зад8. На плоскости дано n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Разные задачи

Зад9. Докажите, что в треугольнике а) та из двух высот меньше, которая проведена к большей стороне; б) то же для медиан.

Зад10. Докажите, что любой отрезок внутри треугольника не превосходит его наибольшей стороны.

Зад11. В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Высота любого дерева меньше 100м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200м.

Зад12. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Докажите, что AB>AC Û LB>LC.

Зад13. Докажите, что в треугольнике сумма высот меньше периметра.

Для самостоятельного решения

Зад14. Внутри выпуклого четырехугольника с суммой диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой диагоналей d'. а) Может ли оказаться d'>d ? б) Докажите, что d'<2d.

Зад15. Докажите, что любой многоугольник периметра 1 можно поместить в круг радиуса ¼.

Зад16. а) На плоскости отмечены 10 точек. Докажите, что на данной окружности радиуса 1 найдется точка, сумма расстояний от которой до отмеченных не меньше 10.

б) На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше сумм расстояний от центра стола до центров часов.

Теория чисел. Основная теорема арифметики. НОД и НОК.

Лемма 1. У составного числа a найдется такой простой делитель p, что p2£a.

Упр2. Как проверить, что числа 1997 и 1999 – простые?

Упр3. Найдите НОД(99!+100!, 101!).

Теорема 4. Простых чисел бесконечно много.

Основные факты, следующие из единственности разложения на простые множители:

1. Если ab делится на простое число p, то одно из чисел a и b делится на p.

2. Если a делится на b и a делится на c, причем НОД(b,c)=1, то a делится на bc.

3. Если ab делится на c и НОД(a,c) =1, то b делится на c.

Зад5. а) Найдутся ли 3 натуральных числа таких, что ни одно из них не делится на другое, а произведение любых двух из них делится на третье? б) Тот же вопрос про 10 чисел?

Зад6. Докажите, что НОД (a,b)·НОК(a,b)=ab.

Зад7. Каким может при натуральных n быть НОД чисел а) 2n-17 и n-8 ; б) 13n+8 и 8n+5?

Алгоритм Евклида

Лемма 8. Если a=bq+r, то НОД (a,b) = НОД (b,r).

Упр9. Найдите а) НОД(1998, 8991); б) НОД(7387, 82861).

Зад10. Найдите а) НОД; б) НОД(2100-1, 2120-1); в) НОД(2m-1, 2n-1).

Зад11. На прямой сидит блоха, и прыгает всякий раз либо на 15 сантиметров вправо, либо на 21 сантиметр влево. В каких точках прямой может побывать эта блоха?

Зад12. В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет. Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?

Для самостоятельного решения

Зад13. Докажите, что .

Зад14. При каких n можно найти n натуральных чисел, чья сумма равна их НОК?

Зад15. Докажите, что в вершинах любого многогранника можно расставить натуральные числа так, чтобы числа в вершинах связанных ребром имели общий делитель больше 1, а не связанные ребром не имели.

Зад16. Докажите основную теорему арифметики (ОТА):

16-1. Если r – остаток от деления a на b, то НОД(a,b) = НОД(b,r).

16-2. Если d = НОД(a,b), то найдутся такие целые m и n, что d=ma+nb.

16-3. Если a не делится на простое число p, то найдутся целые m и n, что 1=ma+np.

16-4. Если , где p – простое, то либо .

16-5.(ОТА) Разложение натурального числа в произведение простых сомножителей единственно с точностью до порядка сомножителей.

Зад17. Числа a, b, c – целые. Докажите, что уравнение ax+by=c имеет решение в целых числах Û .

Самостоятельная работа – 2

1. Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

2. На окружности отмечены 7 красных и 5 синих точек. Каких треугольников с вершинами в этих точках больше: одноцветных или разноцветных? На сколько?

3. В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с четырьмя мальчиками. Докажите, что число школьников в классе делится на 7.

4. Какой остаток при делении на 23 даст число 100100!?

5. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Сумма площадей треугольников ABO и CDO равна половине площади четырехугольника. Докажите, что O является серединой одной из диагоналей.

Формула Пика

Теорема (Формула Пика). Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах клетчатой бумаги с клетками размера 1´1. Внутри его лежит n узлов, а на границе m узлов. Тогда площадь этого многоугольника равна .