Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда Аi — нечеткое подмножество W, в то время как Вi — нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:где Н — нечеткое подмножество на W ´ I, w Î W, i Î I.

Аналогичным образом высказывания d1, d2,..., dq преобразуются в множества Н1, Н2, ..., Нq. Их пересечением является множество D:D = H1 Ç H2 Ç ... Ç Нq

и для каждого (w, i) Î W ´ IУдовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:G = А ° D,

где G — нечеткое подмножество интервала I.

ТогдаСопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С Ì I определяем a-уровневое множество (a Î [0, 1]):Сa= {i |mc (i) ³ a Î I}.Для каждого Сa можно вычислить среднее число элементов — М(Сa):

для множества из п элементов

для Сa={a£ i £ b}

при 0 £ a1 £ b1 £ а2 £ b2 £ ... £ аn £ bn £ 1.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:где amax — максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

ШКОЛА ЭКОНОМИКИ И МЕНЕДЖМЕНТА

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

по дисциплине

________ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ___

(название дисциплины)

Для студентов специальности 080801.65 «Прикладная информатика в экономике»

(шифр, название специальности)

Владивосток 2011

ТЕМЫ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

1. Операции над четкими множествами (применение логических функций). (9 ч.)

2. Применение прикладного программного обеспечения для реализации нечетких вычислений – изучение интерфейса. (8 ч.)

3. Представление нечетких значений и функций в «Fuzzy for Excel». (8 ч.)

4. Нечеткие вычисления. (9 ч.)

Под приближенными рассуждениями понимается процесс, при котором из нечетких посылок получают некоторые следствия, возможно, тоже нечеткие. Приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в игры, требующие умственных усилий, в общем, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Эта способность рассуждений в качественных, неточных терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычислительной машины.

Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы судим об истинности высказывания по истинности высказываний и $A\to B$ . Например, если — высказывание "Джон в больнице", — высказывание "Джон болен", то если истинны высказывания "Джон в больнице" и "Если Джон в больнице, то он болен", то истинно и высказывание "Джон болен".

Во многих привычных рассуждениях, однако, правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. Так, обычно мы знаем, что истинно и что $A^{*}\to B$ , где $A^{*}$ есть, в некотором смысле, приближение . Тогда из $A^{*}\to B$ мы можем сделать вывод о том, что приближенно истинно.

Далее мы обсудим способ формализации приближенных рассуждений, основанный на понятиях, введенных нами на предыдущей лекции. Однако, в отличие от традиционной логики, нашим главным инструментом будет не правило modus ponens, а так называемое композиционное правило вывода, весьма частным случаем которого является правило modus ponens.

Композиционное правило вывода

Композиционное правило вывода — это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Предположим, что имеется кривая y=f(x) (см. рис. 10.1(А)) и задано значение x=a . Тогда из того, что y=f(x) и x=a , мы можем заключить, что y=b=f(a) .

Обобщим теперь этот процесс, предположив, что — интервал, а — функция, значения которой суть интервалы, как на рисунке 10.1(Б). В этом случае, чтобы найти интервал y=b , соответствующий интервалу , мы сначала построим цилиндрическое множество $\bar a$ с основанием и найдем его пересечение с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось и получим желаемое значение в виде интервала .

Рис. 10.1.

Чтобы продвинуться еще на один шаг по пути обобщения, предположим, что — нечеткое подмножество оси , а — нечеткое отношение в $OX \times OY$ (см. рис. 10.1(В)). Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество $\bar A$ с основанием и его пересечение с нечетким отношением , мы получим нечеткое множество $\bar A \cap F$ , которое является аналогом точки пересечения I на рис. 10.1(А). Таким образом, из того, что y=f(x) и x=A — нечеткое подмножество оси , мы получаем значение в виде нечеткого подмножества оси .