Измерение физических величин и оценка погрешностей измерений

Измерение физических величин и оценка погрешностей измерений

Вводное занятие

Измерение физических величин

и оценка погрешностей измерений

Виды измерений

Измерения, при которых измерительный прибор даёт непосредственно информацию о значении измеряемой физической величины, называют прямыми измерениями.

Измерения, при которых значение измеряемой величины находят путём вычислений на основе использования результатов измерений других величин, называют косвенными измерениями.

Погрешности измерений

При измерениях физических величин любыми приборами результат измерения всегда несколько отличается от истинного значения физической величины. Отличие результата измерений от истинного значения измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерений. Отличие результатов измерений от истинного значения может быть обусловлено многими причинами:

несовершенством измерительного прибора (инструментальная погрешность); ошибкой экспериментатора при считывании показаний прибора (погрешность отсчета); влиянием процесса измерения на исследуемый объект или процесс (погрешность метода измерения); влиянием случайных факторов на процесс измерения.

Погрешности измерений в соответствии с причиной их возникновения классифицируются на случайные, систематические и промахи.

Систематическими погрешностями называются погрешности измерений, остающиеся неизменными при повторных измерениях. Все систематические погрешности в принципе можно оценить и учесть при рассмотрении результатов.

Случайными погрешностями называют неопределенные по своей величине и природе погрешности, обусловленные причинами, зависящими как от измерительного устройства, так и от внешних условий, влияние которых нельзя вычислить, учесть или исключить.

Промахи – это погрешности, которые существенно превышают систематические и случайные погрешности. Причинами промахов обычно являются ошибки экспериментатора, неисправность средств измерений.

Максимальное возможное значение абсолютной погрешности измерений называется границей абсолютной погрешности измерений (обозначается ∆). Общая погрешность измерений равна сумме максимальных возможных значений систематических и случайных абсолютных погрешностей:

.

Если при измерении физической величины получено некоторое значение хизм и оценка границы абсолютной погрешности измерения дала значение границы погрешности ∆х, то можно утверждать, что истинное значение а физической величины лежит в интервале значений:

хизм - Dх хизм а хизм + Dх х

Границей относительной погрешности измерений (ε) называется отношение границы абсолютной погрешности ∆х к значению хизм измеряемой величины:

или в процентах:

·100%.

Если произведена оценка границы относительной погрешности измерений по известным характеристикам измерительного прибора, то границу абсолютной погрешности ∆х можно найти по значению границы относительной погрешности ε и измеренному значению величины хизм:

.

Запись результатов измерений и вычислений

Для записи приближённых чисел в физике пользуются следующими понятиями:

·  «верная цифра». Цифра n–ого разряда называется верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы этого разряда. Например, если в таблице плотностей находим плотность азота ρ = 1,25 кг/м3, то цифра 5 в разряде сотых верная. Следовательно, граница погрешности числа 1,25 равна ∆ρ = кг/м3 = 0,005 кг/м3.

·  «значащая цифра». Значащими называются все цифры в записи числа, кроме нулей слева. Нули, следующие из множителя 10N, не считаются. Например, в числе 0,075 · 106 первая значащая цифра – 7, последняя значащая цифра – 5, всего две значащих цифры; в числе 4,10 значащих цифры – 3, первая значащая цифра – 4, последняя значащая цифра – 0.

Правила записи результатов измерений и вычислений с указанием погрешности:

1.  Абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры.

2.  Результат измерений и расчётов округляют до разряда абсолютной погрешности.

3.  В записи результатов измерений физической величины и границ погрешностей измерений используют одну и ту же единицу физической величины.

Две значащие цифры иногда оставляют, если первая значащая цифра, характеризующая величину погрешности, равна 1 или 2. Например, было получено значение 27,48 ± 0,18. Округляем погрешность до одной значащей цифры (∆х = 0,2), округляем приближённое значение до десятых и записываем результат: 27,5 ± 0,2.

Можно также оставить погрешность с двумя значащими цифрами, если вторая значащая цифра – 5, например, ∆х = 0,25 м.

Обратите внимание, запись х = 2,4 ± 0,08 нарушает правило об одинаковом числе знаков в числе и его погрешности. Правильная запись: х = 2,40 ± 0,08.

Оценка границ систематической погрешности прямых измерений

Погрешность прямых измерений связана прежде всего с погрешностями мер и измерительных приборов (инструментальными). Для большинства измерительных приборов инструментальная погрешность задаётся при помощи числа, называемого классом точности.

Например, для амперметра с пределом измерения 2 А и классом точности 2,5 получим

Для измерительных приборов, не имеющих класса точности, за погрешность инструментальную можно принять половину цены деления прибора, в некоторых случаях (секундомер, барометр-анероид) целую цену деления.

Граница погрешности прямого измерения возрастает, если указатель не совпадает со штрихом шкалы, так как точно определить расстояние от указателя до штриха на глаз невозможно. Это и есть причина так называемой погрешности отсчёта. Принято считать, что граница погрешности отсчёта не превосходит половины цены деления:

где с – цена деления.

Если стрелка расположена между штрихами, то замечают штрих, к которому ближе стрелка, и в качестве результата измерения записывают значение, определяемое эти штрихом.

Если инструментальная погрешность близка к погрешности отсчёта, граница абсолютной погрешности прямого измерения (систематическая погрешность) равна сумме:

,

где ∆и – инструментальная погрешность прибора, ∆о – погрешность отсчета данной меры (измерительного прибора). (Если одно из слагаемых в 3 - 4 раза превосходит другое, то пренебрегают наименьшим.)

Например, при измерении силы тока тем же школьным амперметром с ценой деления 0,1 А получено I = 1,2 A; так как ∆Io=0,05 A, ∆Iи=0,05 А, то результат измерения силы тока нужно записать так: .

Таблица 1.

Систематические погрешности прямых измерений

с помощью некоторых школьных измерительных приборов

Измерительный прибор	Систематическая погрешность измерения данным прибором
Линейка ученическая, длиной 35-50 см	1 мм = 10-3 м
Линейка деревянная длиной 80 – 100 см	5 мм = 5 · 10-3 м
Динамометр учебный	0,1 Н
Штангенциркуль	0,1 мм = 10-4 м
Термометр	0,1˚С

При взвешивании тела за абсолютную погрешность берут половину массы наименьшей гири, вызывающей нарушение равновесия весов.

Оценка границ случайных погрешностей

Случайные погрешности есть всегда, но не во всех измерениях их необходимо учитывать. Если при проведении 3 – 5 повторных измерений максимальное отклонение результатов измерений от среднего не превосходит границы систематической погрешности, то случайными погрешностями измерений в данных опытах можно пренебречь: .

Если же отклонения результатов отдельных измерений от среднего значения существенно превосходят границу систематической погрешности (в 4 раза и более), то можно пренебречь систематической погрешностью измерений и считать, что общая граница погрешности измерений примерно равна границе случайной погрешности . Если погрешности случайные и систематические сравнимы, используют формулу: .

Существует несколько методов оценки границ случайных погрешностей:

1) Оценка погрешности среднеквадратичным отклонением.

В серии из N опытов за результат измерений принимается среднее арифметическое значение:

.

При конечном числе N измерений вычисляется среднее квадратичное отклонение σ (сигма):

σ =.

А В

Ni

Рис. 1. Нормальное распределение случайных погрешностей. Ni – число измерений c результатом х, – значение измеренной величины. Вершина характеризует среднее значение, в интервал АВ попадает большинство значений.

х

s  s 3s 3s

Из свойств нормального распределения следует, что, если граница абсолютной погрешности ∆х = σ, то приблизительно 68 % значений измеренной величины будут укладываться в интервал АВ (см. график).

Если взять интервал таким, что ∆х = 2σ, то приблизительно 95% значений измеренной величины будут укладываться в этот интервал. А если взять ∆х = 3σ, то практически все результаты измерений окажутся в выбранном интервале.

Значение измеренной величины записывают в виде: .

2) Оценка погрешности средним арифметическим отклонением.

В серии из N опытов за результат измерений принимается среднее арифметическое значение:

.

Среднее значение абсолютных погрешностей отдельных измерений, т. е. отклонений от среднего, взятых по абсолютной величине, находится по формуле:

.

Значение измеренной величины записывают в виде: .

3) Оценка погрешности граничными значениями.

Приближённое значение искомой величины вычисляют как полусумму значений, соответствующих верхней и нижней границам:

.

Находят абсолютную (случайную погрешность) как полуразность значений, соответствующих верхней и нижней границе:

.

Значение измеренной величины записывают в виде: .

Косвенные измерения и их погрешности

1. Вначале делают оценку границ погрешностей прямых измерений физических величин, входящих в расчётную формулу.

2. Сравнивают относительные погрешности физических величин, полученных при прямых измерениях. Пренебрегают погрешностями тех величин, относительная погрешность которых в 4 раза и более превышает относительные погрешности других величин.

3. Для вычисления измеряемой величины в расчётную формулу подставляют средние значения непосредственно измеряемых величин.

4. Абсолютную погрешность рассчитывают, исходя из вида расчётной формулы, при этом используют следующие правила нахождения погрешностей:

При сложении и вычитании приближенных величин абсолютные погрешности складывают. При умножении и делении складываются их относительные погрешности. При возведении их в степень и извлечении из них корня относительные погрешности умножаются на показатель степени.

В таблице 2 представлены выражения для расчёта относительной погрешности e физической величины х, измеряемой косвенно и зависящей от величин а и b, имеющих абсолютные погрешности Dа и Db (в таблице 2 величина С - постоянная).

Таблица 2.

Относительные погрешности косвенных измерений

№ п/п	х	e =
1	С( + b)
2	С( - b)
3	C × b C ×
4	C × k × bn

Например, проводится измерение потенциальной энергии деформированной пружины.

1. Записываем расчётную формулу: , где F – сила, х – величина деформации. Измерение силы выполняется лабораторным динамометром, абсолютная погрешность измерения силы ∆F = 0,1 Н. Растяжение х измеряется линейкой, абсолютная погрешность которой ∆х = 0,001 м. Результаты прямых измерений:

F = (3,0 ± 0,1) Н, х = (0,060 ± 0,001) м.

2. Относительная погрешность измерения силы , относительная погрешность измерения деформации . Погрешности сравнимы.

3. Значение энергии найдём, подставляя в расчётную формулу измеренные значения силы и растяжения: Е = 0,090 Дж.

4. Относительная погрешность измерения энергии .

5. Абсолютная погрешность измерения энергии: 0,05 · 0,090 Дж = 0,0045 Дж 0,005 Дж.

Таким образом, результат измерения энергии: Е = (0,090 ± 0,005) Дж.

Оформление протокола лабораторной работы

1.Заготовить титульный лист отчета о лабораторной работе по образцу представленному преподавателем.

2.Второй лист содержит: Цель работы, таблицу приборов, исходные данные и рабочие формулы, таблицу измерений.

Таблица приборов

Наименование прибора	Тип прибора	Предел измерения	Цена деления	Класс точности	Погрешность прибора

3.  Графики строятся на миллиметровой бумаге в соответствии со следующими правилами:

3.1. По оси абсцисс обычно откладывают аргумент, а по оси ординат - его функцию.

3.2. У осей должны быть проставлены обозначения и единицы размерностей соответствующих величин. По осям откладывают только масштабные единицы, а точки с координатами (x, y), полученными в эксперименте, наносятся на график.

3.3. Каждой экспериментальной точке (x, y) пристраивается доверительный интервал ±D по оси у.

4. В конце работы сделать вывод, отвечающий на поставленную цель работы.

Рекомендуемая литература:

Физический практикум для классов с углубленным изучением физики: 10-11 кл.

/ , , и др.; Под ред , .

– 2-е изд., перераб. и допол. – М.: Просвещение, 2002

, Буховцев . Учебник для 11 классов общеобразовательных учреждений.