Нечеткая импульсная стабилизация верхнего положения равновесия маятника на подвижном основании (стр. 3 )

Рассмотрим задачу об устойчивости нулевого решения нечеткой импульсной модели Такаги-Сугено, применяя теорему 2 из работы [13], результаты которой установлены на основе общих подходов, разработанных в [20]. Известно, что величина коэффициента сопротивления является малой величиной, поэтому будем считать малым параметром.

Выпишем характеристический многочлен матрицы

Легко найти, что

Тогда собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям, имеют, соответственно вид

Из элементов собственных векторов составим матрицу

где

Найдем разложение матрицы по степеням .

Сделаем замену переменных в системе (7) по формуле . Тогда структурные матрицы модели Такаги–Сугено примут вид соответственно, где

Для получения достаточных условий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (7) воспользуемся утверждением теоремы 2 [13]. Неравенство (4) (см. [13]) принимает вид

(8)

где .

Обозначим

Найдем условия, при которых блочная матрица вида где , – 22–симметричная положительно определенная матрица, удовлетворяющая следующему линейному матричному уравнению

(9)

где

удовлетворяют систему линейных матричных неравенств (8) с точностью до .

Вектор подберем так, чтобы левая часть неравенства (8) имела следующую блочную структуру

Для проверки отрицательной определенности матрицы воспользуемся критерием Шура отрицательной определенности блочной матрицы

– некоторая симметричная 22-матрица, при этом , , ( – символ пропорциональности).

Первое неравенство выполняется всегда при достаточно малых , вследствие того, что и, как нетрудно показать, , а второе неравенство выполняется при достаточно малых , если дополнительно предположить . В этом случае,

Условия устойчивости в этом случае сводятся к системе трех неравенств

(10)

Вследствие того, что , , неравенства (10) можно привести к виду (здесь )

Легко видеть, что первое неравенство является следствием второго и третьего. Таким образом, условия устойчивости нулевого решения исходной системы (7) сводятся к выполнению трех матричных неравенств

(11)

и решению линейного матричного уравнения (9) в классе положительно определенных матриц. Здесь .

Обозначим

и найдем в явном виде элементы матриц , , . Решение системы (9) можно представить в виде

Нетрудно убедиться, что матрица будет положительно определенной при выполнении неравенств

(12)

Это условие гарантирует положительную определенность матрицы при достаточно малых абсолютных значениях параметра . Действительно, вследствие критерия Шура, неравенство гарантирует положительную определенность матрицы . Это неравенство выполняется с точностью , вследствие того, что .

Компоненты матриц представляются в виде

Определители матриц и имеют вид: