Используя выражения (5) и (7), запишем:
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
I_\Sigma = \omega C*(\omega )_{} U_0 \cos \omega t
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (8)
или
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
I_\Sigma = - \frac{1}
{{\omega L*(\omega )}}_{} U_0 \cos \omega t
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
. (9)
Соотношения (8) и (9) совершенно эквивалентны, и по отдельности математически полностью характеризуют рассмотренную цепь. Но с физической точки зрения ни [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
C*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, ни [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
L*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
емкостью и индуктивностью не являются, хотя и имеют ту же размерность. Физический смысл их названий заключается в следующем:
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
C*(\omega ) = \frac{{\sigma _X }}
{\omega }
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (10)
т. е. [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
C*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] представляет суммарную реактивную проводимость данной цепи, деленную на частоту, а
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
L*(\omega ) = \frac{1}
{{\omega \sigma _X }}
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (11)
является обратной величиной произведения суммарной реактивной проводимости на частоту. Величина [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
C*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] математически сконструирована таким образом, что в нее одновременно входит и [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$C$
% MathType! End!2!1! [/math] 
, и [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$L$
% MathType! End!2!1! [/math] 
. То же относится и к [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
L*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] .
Заметим лишь, что, пользуясь рассмотренным методом, любую цепь, состоящую из реактивных элементов [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$C$
% MathType! End!2!1! [/math] и [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$L$
% MathType! End!2!1! [/math] , можно представить как зависящую от частоты индуктивность или емкость. Однако это будет лишь способ математического описания реально существующих цепей с постоянными величинами реактивных элементов.
Запасаемая в емкости и индуктивности энергия, определяется из соотношений
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
W_C = \frac{1}
{2}CU^2
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (12)
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
W_L = \frac{1}
{2}LI^2
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
. (13)
Но каким образом следует поступать, если в нашем распоряжении имеются [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
C*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] и [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
L*(\omega )
\]
% MathType! End!2!1! [/math] ? Конечно, вставлять эти соотношения в формулы (12) и (13) нельзя уже хотя бы потому, что эти величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Но все же, если для этих целей пользоваться указанными параметрами, то нетрудно показать, что суммарная энергия, накопленная в рассмотренной цепи, определяется выражениями:
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
W_\Sigma = \frac{1}
{2}_{} \frac{{d\sigma _X }}
{{d\omega }}_{} U^2
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (14)
или
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
W_\Sigma = \frac{1}
{2}_{} \frac{{d\left[ {\omega C*(\omega )} \right]}}
{{d\omega }}_{} U^2
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (15)
или
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
W_\Sigma = \frac{1}
{2}_{} \frac{{d\left( {\frac{1}
{{\omega L*(\omega )}}} \right)}}
{{d\omega }}_{} U^2
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
. (16)
Если расписать уравнения (14) и (15) или (16), то получим одинаковый результат, а именно:
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
W_\Sigma = \frac{1}
{2}CU^2 + \frac{1}
{2}LI^2 ,
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
(17)
где [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$U$
% MathType! End!2!1! [/math] 
– есть величина напряжения на емкости, а [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$I$
% MathType! End!2!1! [/math] 
– ток, текущий через индуктивность.
Теперь давайте представим себе преподавателя, который студентам радиотехнической специальности пытается доказать, что существует только емкость, зависящая от частоты, а индуктивности и в природе не существует или наоборот. Рассмотренный подход с математической точки зрения никаких возражений не вызывает. Но вот когда математика, как мы увидим далее, начинает присваивать физическим величинам несоответствующие им названия, такой подход можно назвать метафизикой.
Рассмотрение начнём со сверхпроводников, в которых носители заряда могут двигаться без трения. По сути дела сверхпроводник может быть назван специфической плазмой, где сверхпроводящие носители заряда, проводящие электрический ток, не взаимодействуют с решеткой. Такое рассмотрение в полной мере относится и к бездиссипативной плазме [2]. В этом случае уравнение движения заряда имеет вид:
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
m\frac{{d\vec v}}
{{dt}} = e\vec E
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (18)
где [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$m$
% MathType! End!2!1! [/math] 
и [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$e$
% MathType! End!2!1! [/math] 
– масса и заряд электрона, [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$\vec E$
% MathType! End!2!1! [/math] 
– напряженность электрического поля, [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$\vec v$
% MathType! End!2!1! [/math] 
– скорость движения заряда.
Учитывая, что плотность тока
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\vec j = ne\vec v,
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
(19)
из (18) получаем
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\vec j_L = \frac{{ne^2 }}
{m}\int {\vec E_{} dt}
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
. (20)
В соотношении (19) и (20) величина [math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
$n$
% MathType! End!2!1! [/math] 
представляет удельную плотность зарядов. Введя обозначение
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
\[
L_k = \frac{m}
{{ne^2 }}
\]
% MathType! End!2!1! [/math] 
, (21)
запишем
[math] % MathType! Translator!2!1!AMS LaTeX. tdl! TeX -- AMS-LaTeX!
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
