На вопросы о том, насколько хорошее приближение оптимума получается из решения двойственной задачи, т. е. сколь велик скачок двойственности и какова скорость сходимости метода субградиента при определённом способе выбора шага (например, ), можно ответить только с помощью исследований результатов численных экспериментов над практическими задачами.

3.3  Численное решение задачи о средних значениях в классической

модели риска

Известно, что классический процесс риска впервые изучался в работе Лундберга [37]. Уравнением этого процесса описывается динамический портфель страховой компании, банка, других финансовых организаций, являющихся перераспределителями финансовых потоков в окружении рискованной среды.

Рассмотрим работу страховой компании. Пусть страховые премии поступают равномерным потоком (от требования равномерности потока можно избавиться введением операционного времени) с интенсивностью , а в случайные моменты времени наступают страховые события, наносящие ущерб случайного размера соответственно. Тогда размер капитала компании в момент времени при условии, что начальный капитал, в момент времени , равен , описывается выражением

, (3.8)

где

– (3.9)

количество страховых событий, наступивших в интервале времени . Поскольку моменты времени случайны, случайными оказываются и промежутки времени между последовательными страховыми событиями

. (3.10)

Определение 3.1 Случайный процесс вида (3.8) называется классическим процессом риска, если случайные величины являются независимыми, одинаково распределёнными и имеют показательное распределение с параметром :

(3.11)

случайные величины также являются независимыми и одинаково распределёнными и имеют функцию распределения

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(3.12)

При этом, как известно [37], [39], количество страховых событий имеет распределение Пуассона с параметром :

, (3.13)

а накопленный размер страховых убытков на интервале времени является случайной величиной с так называемым составным распределением Пуассона, функция распределения которого имеет вид

, (3.14)

где означает кратную свертку функции распределения с собой, т. е. функцию распределения суммы независимых одинаково распределённых случайных величин с функцией распределения . [39].

Если случайный процесс зависит от случайного аргумента , то будем его обозначать , в частности, отдельную траекторию процесса при фиксированном обозначим

. (3.15)

Отсюда видно, что классический процесс риска вполне определяется значениями четырёх параметров , удовлетворяющих условиям

. (3.16)

Произвольный классический процесс риска с фиксированными значениями параметров, удовлетворяющих условиям (3.13) обозначим

, (3.17)

а совокупность всех классических процессов риска с такими параметрами обозначим

. (3.18)

Разорение процесса. Под разорением процесса (3.8) понимается достижение уровня , то есть событие

, (3.19)

при этом моментом разорения называется случайная величина

. (3.20)

Эта случайная величина зависит от параметров процесса (3.8) и может оказаться несобственной, с положительной вероятностью принимая значение ; такая ситуация соответствует траекториям, которые не разоряются на всей временной полуоси .

Вероятностью разорения процесса (3.8) называется величина , т. е. вероятностная мера множества тех траекторий, которые разоряются за конечное время. Эта величина также является функцией параметров процесса, её обозначим

. (3.21)

В некоторых случаях определяют вероятность выживания процесса

. (3.22)

Теперь исследуем свойства монотонности вероятности разорения, как функции параметров процесса.

1) является невозрастающей функцией ;

2) является невозрастающей функцией ;

3) является неубывающей функцией ;

4) является невозрастающей функцией , если порядок на множестве функций распределения задан отношением .

Проверка перечисленных выше свойств производится путём сравнения событий разорения (3.19) при соответствующих значениях параметров.

Уравнение для вероятности разорения. Используя формулу полной вероятности, нетрудно вывести интегральное уравнение для вероятности разорения процесса (3.8). Мы здесь приведём, для простоты записи, интегральное уравнение вероятности выживания процесса риска

. (3.23)

Из формулы (3.22) можно получить и интегральное уравнение вероятности разорения процесса риска.

Теперь рассмотрим одну задачу в классической модели риска.

В классической модели риска с пуассоновским потоком ущербов интенсивности , поступающих в страховую компанию, со скоростью накопления платёжей и распределением ущербов при условии вероятность разорения компании как функция от начального капитала удовлетворяет неоднородному интегральному уравнению Вольтерра второго рода

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5