3. Приближённые и численные методы решения задач управления (стр. 4 )

где последовательные моменты поступлений тиков, т. е. моменты изменений в ценах, а и являются измеримыми величинами, т. е. и аналогично для

Тогда .

Обозначим через . Распределение вероятностей или полностью определяется совместным распределением вероятностей последовательностей , состоящих из моментов типов и соответствующих им "меток", . Такие последовательности называют маркированным точечным процессом или мультивариантным точечным процессом. Точечный процесс относится только к последовательности и в данном случае является последовательностью моментов скачков цен, Если положим

(3.32)

то

(3.33)

Процесс называется считающим процессом, и имеет место взаимно однозначное соответствие определяемое формулами (3.32) и (3.33). Закон распределения полностью определяется условными распределениями

(3.34)

с и

. (3.35)

Рассмотрим некоторое фильтрованное вероятностное пространство (стохастический базис) Здесь поток (фильтрация), состоящий из -алгебр , являющихся «носителями информации на рынке, доступной на интервалах времени ». Тогда моменты можно считать случайными величинами, являющимся марковскими моментами относительно :

(3.36)

Точно также можно считать случайными величинами, являющимся измеримыми, где -алгебра событий, наблюдаемых на т. е. состоящая из тех событий , которые обладают тем свойством, что для каждого

. (3.37)

Итак, и являются случайными величинами определенными на некотором вероятностном пространстве.

Об эмпирическом распределении статистики тиков. Для обозначим Знание равносильно знанию .

Допустим, что одинаково распределены и независимы, то их распределения вероятностей (эмпирическую плотность) можно получить из гистограммы построенной по имеющимся статистическим данным. Например, [41], [42]:

(3.38)

где и (3.39)

Здесь использован метод наименьших квадратов для оценки параметров и Анализировалась функция как функций от .

Распределение типа (3.38) хорошо аппроксимируется распределением Парето с плотностью (), [34], [38], [47], [48].

(3.40)

В данном случае соотношение (3.38) на интервале [23 sek., 3 min.) "аппроксимируется" распределением Парето с показателем , а на интервале [3 min., 3 hour.) – с параметром .

Теперь, пусть величины независимы. В этом случае их распределения будут условными . Пусть существуют достаточные статистики , такие, что

. (3.41)

Простейшим условным распределением для при условии является экспоненциальное распределение с плотностью

(3.42)

для которого случайные параметры определяются рекуррентным соотношением

(3.43)

с (3.41) – (3.43) полностью определяют условие распределения при этом величины будут зависимыми.

Заметим, что

(3.44)

Отметим, что авторегрессионная модель первого порядка (3.43) допускает обобщение на модели более высокого порядка.

Дискретизация статистических данных. Рассмотрим статистику в поведении изменений в ценах, т. е. статистику последовательности или . Часто сталкиваются с статистическими данными, поступающими нерегулярно, в случайные неравноотстоящие моменты с разными интервалами где Эта нерегулярность вносит определенные трудности для применения имеющихся методов статистического анализа данных. Поэтому статистические данные сначала подвергаются некоторой предварительной обработке, например, дискретизации. Для этого зафиксируем некоторый "разумный" интервал времени . Этот интервал не должен быть слишком "малым". В этот интервал попадал значительное число тиков или было значительно больше среднего времени между двумя тиками. Например, в случае обменных курсов основных валют рекомендуется брать , что позволяет также избежать неопределенности, возникающей в связи с тем, что при меньших значениях размер спрэда и диапазон изменений в ценах покупки и продажи становятся сопоставимыми.