Отражение нейтронов от геликоидальной системы ОИЯИ, ЛНФ (стр. 2 )

где . Заметим, что

, (22)

и для определения правильного знака потребуем, чтобы при выражение переходило в , а при оно переходило бы в . Из этих требований однозначно определяется знак плюс. Таким образом,

. (23)

2.3 Сопоставление с решением [6]

Заметим, что собственные состояния оператора имеют собственные значения

. (24)

Собственные состояния распространяются с волновыми векторами

. (25)

Поскольку любое состояние разлагается по , то по ним разлагаются и состояния . Поэтому,

,

и потому распространяющейся является не функция , а функция

, (26)

и, соответственно,

, (27)

с ..

2.4 Граничные условия

Найдем теперь амплитуды отражения и преломления полубесконечного геликоидального зеркала. Для этого волновую функцию (14) внутри среды нужно сшить с внеш­ней волновой функцией

, (28)

Рис. 1: Зависимость от волнового вектора коэффициента отражения без переворота спина (сплошная кривая) и с переворотом (пунктирная кривая) при начальной поляризации (правый индекс −) в направлении противоположном оси , которая параллельна внутренней нормали к зеркалу.

которая содержит падающую плоскую волну в произвольном спиновом состоянии и отраженную с матричной амплитудой отражения , причем , а − внешнее магнитное поле. Представив в виде , где матричная амплитуда пропускания границы раздела в точке , и потребовав непрерывность функции (28) и ее производной в точке , получим уравнения (см, например [7-9])

,

, (29)

где

. (30)

Решение уравнений (29) равно

, (31)

. (32)

Рис. 2: Зависимость от волнового вектора коэффициента отражения без переворота спина (сплошная кривая) и с переворотом (пунктирная кривая) при начальной поляризации (правый индекс ) в направлении параллельном оси .

При получаем

, , , (33)

что и естественно, поскольку при вращение не играет никакой роли. Легко проверить, что в пределе получаются формулы для отражения и преломления на поверхности зеркала с постоянной намагниченностью .

С помощью аналитического выражения (32) легко рассчитать зависимость коэф­фициентов отражения с переворотом и без переворота спина от волнового вектора падающих нейтронов. Результаты расчета для простейшего случая при­ведены на рис. 1 и 2. При расчетах за единицу длины волнового вектора принята величина , и выбраны параметры , , и соответственно . Эти же параметры будут использоваться и далее. Главной особенностью полученных результатов является резонансный пик полного отражения с переворотом спина, отчетливо видный на рис. 1, и нам необходимо проанализировать его положение, ширину и найти ему физическое объяснение.

2.5  АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНОГО ОТРАЖЕНИЯ

Заметим, что на обоих рисунках видна граница полного отражения при , до которой отражение в основном происходит без переворота спина (сплошная кривая). Вблизи границы наблюдается небольшая доля отражения с переворотом спина примерно одинаковая для обоих направлений начальной поляризации. То, что такая граница должна быть особенно хорошо демонстрируется при больших , таких, что . Действительно, в этом случае радикалы в выражении (23) для могут быть при малых приближенно представлены в виде , в результате чего (23) представляется в виде

, (23а)

т. е. величина совпадает с волновым вектором скалярной частицы внутри среды с потенциалом . При волновой вектор внутри среды оказывается мнимым, что означает полное отражение при этих энергиях. В интервале волновой вектор внутри среды действителен, несмотря на то, что оба радикала в (23) мнимые, поэтому коэффициент отражения быстро убывает с ростом . Однако, в области

радикал становится действительным, тогда как остается мнимым. Поэтому величины (23) и (24) приобретают мнимую часть, а волновой вектор становится мнимым. Отсюда следует, что в этой области тоже можно ожидать нечто вроде полного отражения. И действительно, как видно из рис. 1, в этой области происходит полное отражение с переворотом спина.

На рис. 3 представлены результаты расчета коэффициента отражения нейтрона с первоначальной поляризацией противоположной оси от зеркала с параметрами и . Результаты расчета аналогичны тем, которые представлены на рис. 1. Однако, в отличие от рис. 1, граница полного отражения находится не в точке , а при . Середина же резонансного пика полного отражения находится в точке , а весь пик располагается в интервале , что прекрасно согласуется с вышеприведенным анализом.