О теории возмущений в квантовой электродинамике

О теории возмущений в квантовой электродинамике[1].

ФГОУ ВПО Российская академия народного хозяйства

и государственной службы при Президенте РФ,

Поволжский институт управления им. , г. Саратов.

Аннотация. В работе рассмотрена возможность построения теории возмущений для задач квантовой электродинамики, в основу которой положены волновые функции т. н. “одетого” электрона, в отличие от традиционной теории возмущений, использующей волновые функции “голого” электрона. Для исследования волновых функций “одетого” электрона используется численное решение связанных уравнений Дирака и Максвелла в приближении малых импульсов. Найдены с квазиклассической точностью выражения для собственных значений рассматриваемой самосогласованной задачи, получена оценка времени жизни “одетого” электрона и величины эффективного заряда электрона.

Ключевые слова: фотон, электрон, квантовая электродинамика, теория возмущений, расходимости, перенормировка.

1.  Введение.

Современная квантовая теория поля (КТП), без сомнения, наиболее интенсивно развивающийся раздел теоретической физики. Ее результаты находят применение во многих смежных областях: теории элементарных частиц, космологии, физике конденсированного состояния и др. Все результаты теории поля можно условно разделить на два класса: полученные в рамках теории возмущений (пертурбативные) и т. н. непертурбативные. К первому классу относятся, например, результаты, полученные с использованием метода S- матрицы. Границы второго класса очертить труднее, поскольку он непрерывно расширяется, пополняясь новыми результатами. Более подробно этот вопрос изложен, например в книгах [1, 2].

Последние годы развития КТП отмечены стремительным развитием именно второго направления, как наиболее интересного и перспективного. Результаты первого направления ограничены, в основном, поиском методов перенормировок различных моделей КТП, направленных на устранение нефизических расходимостей в выражениях для наблюдаемых величин. Очевидно, что расходимости – неизбежный порок теории возмущений, использующей в качестве функций нулевого приближения волновые функции “голых” частиц, не существующих в природе[2].

Существует возможность исправить этот недостаток теории возмущений, выбрав в качестве функций нулевого приближения волновые функции “одетых” частиц. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) такие функции соответствуют состояниям частиц, окруженных облаком виртуальных фотонов. Настоящая работа посвящена исследованию таких состояний.

2.  Исследование уравнений Максвелла-Дирака

В основе КЭД лежат уравнения Дирака для частицы спина ½ решаемые совместно с уравнениями Максвелла. Рассмотрение проведем, используя известное разложение уравнения Дирака по степеням с-1 , с – скорость света [4]. В этом приближении две компоненты дираковского биспинора, отвечающие позитронным состояниям, малы, а уравнения для двух других (электронных) компонент, обозначаемых φ, связаны с уравнениями Максвелла, которые сводятся к уравнениям для электрического поля , Φ- скалярный потенциал. Окончательные уравнения имеют вид [4]:

(1)

- оператор импульса электрона, - матрицы Паули, - компоненты спинора, отвечающие противоположным направлениям спина, е – элементарный заряд, m – масса электрона. Уравнения (1) получены с точностью до с-2 [4]. Если мы дополнительно потребуем малости скорости электрона, то в первом уравнении можно будет опустить поправки ~ c-2 содержащие оператор . Кроме того предположим сферическую симметрию задачи. В статическом случае и в пренебрежение спином и вводя величину , приведем уравнения (1) к системе уравнений

(2)

Член ~ во втором уравнении (1) связан с запаздыванием фотонов. Он был опущен в предположении, что размер области взаимодействия фотонов и электрона мал. В связи с этим логично опустить также член ~c-2 в первом уравнении, тогда оно совпадает с уравнением Шредингера для электрона без учета спина, находящегося в поле, которое он сам и создает. Член ~c-2 лишь вносит дополнительную нелинейность.

Удобно перейти к переменной , уравнения для которой имеют вид:

(3)

Эта система должна быть дополнена граничными условиями, в качестве которых выберем условия наличия на бесконечности () только расходящейся волны. Перепишем уравнения (3) в безразмерной форме

(4)

Напомним, что в силу спинорной природы η первое уравнение (4) представляет два уравнения для каждой компоненты без учета их перепутывания, а [3].

Если изменить в правой части второго уравнения знак на противоположный, то придем к известной системе уравнений Шредингера-Ньютона, численно исследованной в работах [5, 6]. По аналогии уравнения (4) можно назвать уравнениями Шредингера-Максвелла, или, учитывая сделанные упрощения, уравнениями Шредингера-Пуассона. С их помощью можно исследовать поведение электрона, находящегося в облаке виртуальных фотонов.

3.Численное исследование уравнений (4).

На рис. 1 показаны результаты численного исследования системы (4).

ρ

Рис. 1. Результаты численного решения уравнений (4) для ν = 0, т. е. энергия отсчитывается от данного уровня. Начальные значения задаются в левой точке поворота: η1 = η2 = 0.1, η1΄ = - η2 ΄= 0.1, U = 0, U΄ = 70.

Из полученных результатов следует, что электрон, окруженный облаком виртуальных фотонов (“одетый” электрон) находится в квазистационарном состоянии, отделенном от состояния свободного (“голого”) электрона потенциальным барьером. Ввиду того, что величина η2 вблизи ρ = 0 изменяется медленно, второе уравнение в (4) можно проинтегрировать, что дает

(5)

Z и В – постоянные, задаваемые краевыми условиями. Ввиду малости η2(0) ≈0,02 поведение потенциала U определяется вторыми двумя слагаемыми. В начале координат основной вклад в потенциал дает кулоновский член, т. е. U(ρ ~ 0) ≈Zρ-1 , Z – постоянная, имеющая смысл реального заряда электрона, экранированного облаком виртуальных фотонов. Убедиться в этом легче всего, построив зависимость U(ρ-1)(Рис. 2). Величина , что по численным оценкам для выбранных краевых условий дает приближенное значение Z ≈ -0,6 (в единицах заряда голого электрона е) и не изменяется в широком диапазоне энергий. Для тех же данных В ≈ 7

Рис. 2. Слева: зависимость U(ρ-1). Линейный участок (большие ρ-1) соответствует экранированному кулоновскому взаимодействию на малых расстояниях.

Справа: плотность экранирующего заряда (η/ρ)2.

Если отсчитывать энергию электрона от значения U в точке максимума, то выражение для уровней энергии в квазиклассическом приближении имеет вид[7]:

(6)

где n = 1,2,…-целое число, ограниченное сверху, J >> 1 – мнимое действие, набираемое под барьером, a < b – точки поворота, т. е. нули подынтегрального выражения для J. Если аппроксимировать поведение U(ρ) вне барьера линейной функцией расстояния ρ, т. е. положить , то J может быть выражено через полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода [8].

Электрон, туннелируя под барьером, может с малой, но конечной вероятностью избавиться от облака фотонов и стать “голым”. Время жизни “одетого” электрона пропорционально . Характер полученного выражения соответствует резонансной структуре процессов рассеяния, в которых участвуют электроны и фотоны. Число этих резонансов определяется числом квазистационарных состояний –решений уравнения Шредингера в потенциале U.

4.  Заключение.

В настоящей работе предпринята попытка рассмотрения некоторых задач теории поля без применения традиционной для нее теории возмущений с использованием в качестве исходных, т. е. невозмущенных - свободных состояний частиц, взаимодействие которых и составляет суть задачи.

В задаче об электрон-фотонном рассеянии описано состояние “одетого” электрона и найдена вероятность его превращения в ”голый”, т. е. без облака виртуальных фотонов.

Поскольку при настоящем рассмотрении взаимодействие электрона с фотонами не предполагается точечным, не возникают проблемы вычисления величины экранированного заряда, присущие стандартной теории возмущений [9]. Тем не менее, рассчитанной величине Z не следует придавать большого значения, поскольку для других краевых условий она может измениться.

Чтобы придать большую убедительность результатам, следует обосновать выбор заданных краевых условий для уравнений (5), что представляет довольно сложную самостоятельную вычислительную проблему, которая еще не решена. Скажем только, что вариация указанных краевых условий, в достаточно широкой окрестности выбранных, мало отражается на характере решения.

Литература.

1.  олитоны и инстантоны в квантовой теории поля/пер. с англ. Под ред. , М.: Мир, 1985.

2.  Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах /Пер. с англ., под ред. .- М.-Ижевск: НИЦ «РХД».-2009.- 632 с.

3.  Фейнберг кластеры и “полуголые” частицы в квантовой теории поля, УФН, Т. 132, № 2, с. 255-291, 1980

4.  , , Питаевский физика. Т. 4. Релятивистская квантовая теория. Ч. 1. М.: Наука, 1968.

5.  Harrison R, Moroz I. and Tod K. P.. A numerical study of the Schrȍdinger–Newton equations, Nonlinearity V. 16, p.101–122, 2003.

6.  Moroz M., Penrose R. and Tod P. Spherically-symmetric solutions of the Schrȍdinger–Newton equations, Class. Quantum Grav. V. 15 2733–2742, 1998.

7.  вантовая теория/пер. с англ. Под ред. .-М.: Мир, 1961.-725 с.

8.  , Рыжик интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 5-е, М.: Наука, 1971.

9.  , О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике. ДАН СССР, Т. 102, с. 489, 1955.

[1] Presented to the Int. Journ. of App. Math. and Theor. Phys., 2016.

[2] О возможности наблюдения “голых” частиц в экспериментах по рассеянию часто упоминал (см., напр. [3])

[3] Ввиду вещественности η знак модуля можно опустить