Часть 1: Интерполяция (стр. 3 )

7.4 Исследование зависимости погрешности интерполирования от количества узлов для обоих методов

Количество узлов n	Максимальная погрешность равномерных узлов	Максимальная погрешность узлов Чебышева
2	0.1250	0.1055
6	0.0400	0.0276
14	0.2817	0.0125
20	12.6891	0.0156

Как видно из нашего исследования, при любом выборе узлов метод Чебышева оказывается точнее по сравнению с методом равномерных узлов. Погрешности при любом количестве узлов при методе Чебышева меньше, чем при методе равномерных узлов.

Помимо этого на графиках можно заметить ситуацию, при которой с интерполяцией с равноотстоящими узлами ошибка интерполяции больше на краях промежутка интерполяции, а при интерполяции с Чебышевскими узлами ошибка распределена более равномерно на интервале интерполирования.

7.5  Исследование сходимости метода интерполяции.

При использовании метода выбора узлов по Чебышеву должна иметь место сходимость метода интерполяции, если не было вычислительной ошибки. При равномерном выборе узлов сходимость может отсутствовать.

При увеличении количества узлов n для метода Чебышева можно отметить следующее: при достаточно большом количестве узлов погрешность стремиться к нулю. Для равномерных узлов погрешность же стремиться к бесконечности. Практически это подтверждается при работе данной программы, что можно увидеть на следующих графиках, для количества узлов n=600

n=600
Равномерные узлы	Узлы по Чебышеву

7.6  Выводы.

В результате проделанной работы мною была исследована сходимость метода интерполяции. Опираясь на данные, которые были получены с помощью программы, и учитывая то, что метод интерполяции сходится, если ΔPn = при n, можно сказать, что при выборе узлов по методу Чебышева имеет место сходимость метода, однако в случае равномерного распределения узлов сходимость отсутствует, что соответствует теоретическим данным.

Помимо этого была исследована зависимость погрешности от количества узлов. После изучения полученных графиков, можно заметить, что при интерполяции с равноотстоящими узлами ошибка интерполяции больше на краях промежутка интерполяции, а при интерполяции с чебышевскими узлами ошибка более равномерно распределена на интервале интерполирования. Это говорит о том, что выбор в качестве узлов интерполирования корней полинома Чебышева является наилучшим из данных двух. Таким образом, теоретические данные были полностью подтверждены практическим результатом.

ГЛАВА 2

1.  Задание

Построить таблицу и график решения линейного дифференциального уравнения заданным численным методом и аналитически, а также с использованием стандартной процедуры ode45.

на интервале t[0,tm].

Сравнить полученные результаты с аналитическим решением. Исследовать условия устойчивости метода. Исследовать зависимость погрешности решения от выбора шага интегрирования.

Вар.№	a0	a1	a2	tm	Метод
13	12	25	4	160	А-М 3 пор

2.  Преобразование данных задания к виду, удобному для численного интегрирования ДУ.

Большинство численных методов предполагают систему уравнений, решенных относительно первой производной.

Приведем данное ДУ 3-его порядка к нормальной форме Коши.

Исходное ДУ имеет вид: 12

Так как ДУ имеет высокий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т. е. имеет место нормальная форма Коши:

Запишем нормальную форму Коши в следующем виде:

Приведем уравнение к нормальной форме Коши:

3.  Расчетные формулы метода

В данной работе необходимо реализовать метод Адамса-Башфорта 3 порядка.

Рассмотрим задачу Коши

y' = f(x, y) ,
y(a) =y0

В методах Рунге-Кутта значение yk+1 зависело только от информации в предыдущей точке xk . Кажется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках xk , xk-1 , … Именно так и поступают в многошаговых методах. Большой и важный класс многошаговых методов возникает на основе следующего подхода. Если подставить в первую формулу точное решение y(x) и проинтегрировать это уравнение на отрезке [xk , xk+1 ] , то получим

y(xk+1 ) - y(xk )= =

где в последнем члене предполагаем, что p(x) - полином, аппроксимирующий f(x, y(x)) . Чтобы построить этот полином, предположим, что yk , yk-1 , … , yk-N -приближения к решению в точках xk , xk-1 , … , xk-N . Мы по-прежнему считаем, что узлы расположены равномерно с шагом h . Тогда fi є f(xi , yi ) (i = k, k-1, …, k-N) есть приближения к f(x, y(x)) в точках xk , xk-1 , … , xk-N , и мы в качестве p возьмём полином для набора данных (xi , fi ) (i = k, k-1, …, k-N) . Таким образом, p -полином степени N , удовлетворяющий условиям p(xi ) = fi , (i = k, k-1, …, k-N) . В принципе, можно проинтегрировать этот полином явно, что ведёт к следующему методу:

yk+1 =yk + 

В простейшем случае, когда N=0 , полином p есть константа, равная fk ,и (4) превращается в обычный метод Эйлера. Если N=1 , то p есть линейная функция, проходящая через точки (xk -1 , fk -1 ) и (xk , fk ) ,т. е.

p(x)= -(x-xk ) fk -1 /h + (x-xk -1 ) fk /h .

Интегрируя этот полином от xk до xk +1 , получаем следующий метод:

yk+1 =yk + h(3 fk - fk-1 )/2

(1)

который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1. Аналогично, если N=2 , то p есть квадратичный полином, интерполирующий данные (xk -2 , fk -2 ) , (xk -1 , fk -1 ) и (xk , fk ) , а соответствующий метод имеет вид

yk+1 =yk + h(23 fk -16 fk-1 +5fk -2 )/12

(2)

Если N=3 , то интерполяционный полином является кубическим, а соответствующий метод определяется формулой:

yk+1 =yk + h(55 fk -59 fk-1 +37 fk-2 - 9 fk-3 )/24

(3)

Отметим, что метод (2) является трёхшаговым, а (3) - четырёхшаговым.

Формулы (1)-(3) известны как явные методы Адамса (Адамса - Башфорта) , т. к. они для нахождения yk+1 не требуют решения никаких уравнений. Метод (1) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом второго порядка. Аналогично, методы (2) и (3) называют соответственно методами Адамса - Башфорта третьего и четвёртого порядков.

Методы Адамса - Башфорта используют уже сосчитанные значения в точке xk и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки xk+1 , xk+2 и т. д. 

Соответственно, так как заданный метод – это многошаговый метод Адамса-Башфорта 3-ого порядка, то он требует предварительного вычисления в 3 начальных точках. Поэтому для вычисления дополнительных начальных значений использован одношаговый метод Рунге-Кутты 4 порядка.