Часть 1: Интерполяция (стр. 1 )

Часть 2:Решение дифференциальных уравнений численным методом.

Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Институт Информационных технологий и управления

Кафедра «Системный анализ и управление»

Курсовая работа

Часть 1: Интерполяция.

Часть 2:Решение дифференциальных уравнений численным методом.

Дисциплина: «Вычислительная математика»

Выполнила студентка группы 23502/1

проверил:

Санкт-Петербург

2014

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ. 4

ГЛАВА 1. 5

1. Задание. 5

2. Анализ задания. 6

3.1 Методы интерполяции. 7

3.1.1 Метод Лагранжа. 7

3.1.2 Метод Ньютона. 8

3.2 Способы нахождения узлов. 8

3.2.1 С равномерным распределением. 8

3.2.2 По Чебышеву. 8

4. Разработка алгоритма. 8

5. Разработка программы.. 8

5.1 Структура, исходные функции. 8

5.2 Листинг. 8

6. Тестирование. 8

7. Исследование. 8

7.1 Программа исследования. 8

7.2 Методика исследования. 8

7.3 Теоретически ожидаемый результат. 8

7.4 Исследование зависимости погрешности интерполирования от количества узлов для обоих методов. 8

7.5 Исследование сходимости метода интерполяции. 8

7.6 Выводы. 8

ГЛАВА 2. 8

1. Задание. 8

2. Преобразование данных задания к виду, удобному для численного интегрирования ДУ. 8

3. Расчетные формулы метода. 8

4. Разработка алгоритма. 8

5. Разработка программы.. 8

5.1 Структура, исходные функции, данные. 8

5.2 Листинг. 8

6. Тестирование. 8

7. Исследование. 8

7.1 Программа исследования. 8

7.2 Методика исследования. 8

7.3 Теоретически ожидаемый результат. 8

7.4 Исследование устойчивости метода. 8

7.5 Исследование порядка сходимости метода. 8

7.6 Выводы.. 8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 8

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших задач численного анализа является задача интерполяции функции. Интерполяция в вычислительной математике – один из способов аппроксимации. Аппроксимация функции заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией так, чтобы отклонение новой функции от f(x) в заданной области было наименьшим. В этой курсовой работе нам требуется восстановить функцию f(x) для всех значений x на [a, b], если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка.

Необходимость интерполяции функции в основном связана с двумя причинами:

1.  Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании(например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

2.  Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, то есть функция задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) ( например, для вычисления f(x) в произвольных точках)

Численные методы изучают вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач. Численные методы решения обыкновенных Д. У. связаны с переходом от дифференциальной системы к разностной схеме и вычислением приближенных решений в форме сеточных функций. Многие вычислительные алгоритмы ориентированы на использование ЭВМ. Следует отметить некоторые особенности численных методов:

1.  для численных методов характерна множественность, т. е. возможность решить одну и ту же задачу различными методами;

2.  вновь возникающие естественнонаучные задачи и быстрое развитие вычислительной техники вынуждают переоценивать значение существующих алгоритмов и приводят к созданию новых.

В этой курсовой работе нам необходимо реализовать интерполяционную формулу Лагранжа, а также осуществить решение линейного дифференциального уравнения с помощью одного из численных методов: метод Адамса-Башворта 4 порядка. Помимо этого необходимо применить стандартную процедуру ode45 для решения линейного дифференциального уравнения.

ГЛАВА 1

1.  Задание

Сравнить графики заданной функции f(x) и интерполяционных полиномов Pn(x) для n=2, 6, 14 на интервале x[c, d] при двух вариантах выбора узлов:

1)  Равномерно с шагом

2)  По Чебышеву

Для заданий с нечетными номерами использовать формулу Лагранжа.

Исходные данные: a=3, c=-4, b=1, d=3.

Исходная функция представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Исходная функция

2.  Анализ задания

Выявим аналитическую формулу для заданного графика:

1. 

Уравнение прямой на данном участке y=a/2=3/2;

2. 

Как мы видим, на отрезке функция имеет вид y=kx+b.

x	y
0	a/2
d	b/2

Составим систему уравнений и найдем k, b:

3/2=0k+b

1/2=3k+b

=> k= -1/3; b=3/2;

Итак, уравнение прямой на участке x>=0 y=-1/3x+3/2

Таким образом, конечная формула для различных участков x выглядит так:

3. Расчетные формулы метода

2.1  Методы интерполяции

Интерполирование функций – один из вариантов аппроксимации, иными словами замены исходной функции другой, близкой функцией, удобной для проведения расчетов. Аппроксимируемая функция задается в табличной форме (сеточная функция) {xi, y(xi) = yi} i= x∈[a, b]. В качестве аппроксимирующей функции часто берут обобщенный полином

Фn(x) = anφn(x) + an-1φn-1(x) + … + a0φ0(x)

Где {φi(x) } i= - заданный набор базисных функций, ai i=0,…,n подлежащие расчету коэффициенты.

2.1.1  Метод Лагранжа

При интерполяции методом Лагранжа интерполяционная функция строится в виде полинома, а в качестве базисных функций выбираются степенные функции . Количество таких функций определяется числом базовых точек. Таким образом, при построении интерполяционного полинома по N точкам степень полинома равна N-1.

Для построения интерполяционных полиномов Лагранжа используют следующие расчетные формулы, где Ln(x) – полином Лагранжа степени n:

Ln(x) =

Полином будем искать в следующей форме:

=

Константа ck определяется из условия = 1.Откуда

ck =

Таким образом,

Нетрудно убедиться, что = 0, когда , i=

Окончательный вид интерполяционного полинома в форме Лагранжа:

- интерполяционный полином, построенный на n+1 узлах. Действительно, есть полином не выше n, так как – полином n-ой степени, а, кроме того, = yk (k=).

2.1.2  Метод Ньютона

Аналогично при интерполяции методом Ньютона интерполяционная функция строится в виде полинома, а в качестве базисных функций выбираются степенные функции .

Nn(x) = y(x0) + (x-x0)y(x0, x1) + (x-x0)(x-x1) y(x0, x1, x2) + … + (x-x0)…(x-xn-1) y(x0, x1,…,xn) = ;

Докажем, что Nn(x) есть интерполяционный полином. Действительно, это полином не выше n – ой степени. Кроме того, для любого xi (i=).

Nn(xi) = f(x0) + (xi-x0)y(x0, x1) + (xi-x0)(xi-x1) y(x0, x1, x2) + … + (xi-x0)…(xi-xn-1) y(x0, x1,…,xn) = y(xi).

Последнее равенство следует из формулы, связывающей значения сеточной функции с разделенными разностями.

В отличие от формы Лагранжа при добавлении узла в сеточной функции форма Ньютона не требует пересчета всех её слагаемых:

Nn+1(x)=Nn(x)+y(x0, x1, …, xn, xn+1)n+1(x).

В силу теоремы о существовании и единственности алгебраического интерполяционного полинома при любом способе вычисления получают идентичные полиномы.

3.2 Способы нахождения узлов

3.2.1 С равномерным распределением

Для нахождения узлов с равномерным шагом используется формула: