Медиана треугольника. Оптимальные методы решения задач (стр. 5 )

2.6. Метод вспомогательного элемента

Иногда при решении геометрических задач надо ввести вспомогательный отрезок или угол. Тогда величину этого отрезка или угла полагают равной, например, х и затем находят искомую величину. В процессе вычислений вспомогательная величина, как правило, сокращается, поэтому данный метод близок к алгебраическому методу.

Задача 23. Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1. Найти углы треугольника АВС.

Решение. Обозначим стороны треугольника АВС: АВ=с, АС=b, BC=a, а медианы соответственно АМ=ma, BK=mb.

Воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности:

АМ*МЕ=ВМ*МС, ma*mb=, а так как АЕ=2АМ, то АМ=МЕ и .

Далее, используя формулу для вычисления длины медианы, получим, что , отсюда. Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС прямоугольный, .

Так, как , то . Снова, применяя свойство хорд в окружности, получаем

, или , отсюда .

Применяя формулу медианы, получим, .

Отсюда . Теперь, учитывая теорему Пифагора, получаем равенство: , то , а значит .

Тогда , а .

Наконец, .

Ответ: ; ; .

2.7. Комбинированный метод

Часто применяется при решении сложных задач, когда невозможно обойтись каким то одним методом решения и приходится прибегать к использованию нескольких методов. Таковыми часто являются задачи олимпиад различного уровня и задачи группы В в централизованном тестировании, которые мы рассмотрим в следующей главе.

Глава 3. Олимпиадные задачи и задачи централизованного тестирования по теме «Медиана треугольника». Выбор оптимального метода решений.

В этой главе комбинированный методы применяется для решения конкретных задач централизованного тестирования и некоторых олимпиадных задач.

Задача 24 (№6 из республиканской олимпиады 2013-2014 учебного года, 8 класс).

Высоты , и остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки М и N - середины отрезков ВС и АН соответственно.

Докажите, что MN – серединный перпендикуляр отрезка .

Решение. Заметим, что и - медианы прямоугольных треугольников и соответственно, проведенные из вершин прямых углов и, следовательно, каждый из них равен половине гипотенузы СВ этих треугольников. Значит , т. е. точка М равноудалена от концов отрезка . Аналогично, рассматривая прямоугольные треугольники и , заключаем, что , т. е. точка N равноудалена от концов отрезка . Таким образом, каждая из точек N и М равноудалена от концов отрезка , а значит, MN – серединный перпендикуляр к этому отрезку, что и требовалось доказать.

Задача 25 (задание №1 Минской районной олимпиады 2012 года, 9 класс).

В треугольнике АВС равен, точка М - середина стороны АС, а L- точка на стороне ВС такая, что АL –биссектриса . Оказалось, что центр окружности описанной около треугольника АВС лежит на отрезке МL. Найти величины двух других углов треугольника АВС.

Решение. 
Поскольку, центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, то МL – серединный перпендикуляр к отрезку АС. Поэтому LМ – высота и медиана треугольника АLС и, следовательно, этот треугольник является равнобедренным. Поэтому. Следовательно, откудаи.

Ответ: , .

Задача 26: (задача  Санкт-Петербургской математической олимпиады, 9 класс)

Докажите, что длина медианы, выходящей из тупого угла треугольника, меньше четверти периметра этого треугольника.

Решение. Пусть a, b, c – стороны треугольника;  γ – тупой угол (противолежит стороне c); m – медиана. Продолжив медиану на её длину, получим параллелограмм со сторонами a, b и диагоналями c, 2m. Воспользуемся теоремой косинусов и тем, что угол  γ  тупой.

Значит, 2m < c. По неравенству треугольника c < a + b, 2c < a + b + c = P, откуда заключаем, что , что и требовалось доказать.

Задача 27(задание В11. третьего этапа РТ 2016г.)

Точка А движется по периметру треугольника КМN. Точки К1, М1,N1 лежат на медианах треугольника КМN и делят их в отношении 1:5,считая от вершин. По периметру треугольника К1М1N1 движется точка В со скоростью, в три раза большей скорости точки А. Сколько раз точка В обойдет по периметру треугольник К1М1N1 за то время, за которое точка А пять раз обойдет по периметру треугольник КМN?

Для решения этой задачи применили свойство медиан, признак подобия треугольников и умение решать задачи на движение.

Решение. Медианы треугольника пересекаются и делятся в точке пересечения в отношении 2:1 считая от вершины, то .

По условию задачи .

Найдём, что .

Аналогично, .

Треугольник подобен треугольнику , так как , - общий. Аналогично подобны пары треугольников и , треугольники и , причем с тем же коэффициентом подобия . Тогда и .

Пусть скорость движения точки А равна , тогда скорость движения точки В равна . Точка А обойдет периметр треугольника за время, равное , тогда пять периметров за время . Тогда точка В за это время по периметру треугольника обойдет один раз за .