Медиана треугольника. Оптимальные методы решения задач (стр. 1 )

Государственное учреждение образования «Средняя школа № 12 г. Пинска»

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ МИНИ-ПОСОБИЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 7-11КЛАССОВ

«Медиана треугольника.

Оптимальные методы решения задач»

Составители:

Самошук Дарья

учащаяся 9 класса «Г»,

учитель математики

2016

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие....………………………………………………………………. с. 3

ГЛАВА 1. Основные теоретические сведения и советы по решению геометрических задач…………………………………………………………. с. 3.

1.1.Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы, теоремы. ……………………………………………………………………….. с. 4

1.2 Обзор общих методов и приемов решения геометрических задач. ….. с.7

ГЛАВА 2. Различные методы и приемы, их применение к решению задач по теме «Медиана треугольника». ……………………………………………… с. 7

2.1. Метод опорных задач. ………………………………………………….. с. 8

2.2. Поэтапно-вычислительный метод (применение формулы длины медианы и теоремы косинусов). ………………………………………………………..с. 12

2.3. Алгебраический метод. ………………………………………………….с. 14

2.4. Геометрический метод. ……………………………………………….....с. 16

2.5. Метод площадей и метод подобия. ……………………………………..с. 17

2.6. Метод вспомогательного элемента или параметра. ………………….. с. 21

2.7. Комбинированный метод………………………………………………….с. 23

ГЛАВА 3. Олимпиадные задачи и задачи централизованного тестирования по теме «Медиана треугольника». Выбор оптимального метода решений. ...............................................................................................................................с.23

ГЛАВА 4. Задачи для самостоятельной подготовки к экзаменам. ………с. 25

Математики –

это не ботаники в очках, листающие

пыльные книги, а современные люди!

Дмитрий Медведев

декан механико-математического

факультета БГУ

Предисловие

В современном мире все возрастает потребность в людях с широким кругозором и прочными знаниями, хорошо владеющих техническими науками, а это значит, что требования к знанию математики тоже становятся выше.

Как научиться решать задачи легко и быстро? Как сдать экзамены и ЦТ без проблем?

Во-первых, необходимо твердое знание теоретической базы. И в этом пособии вы найдёте подробное изложение теоретических сведений по теме «Медиана треугольника». Но даже отличного знания теории недостаточно для того, чтобы быстро находить оптимальный метод решения. Да и на страницах школьных учебников не содержится информации о том, какие существуют методы решения геометрических задач. А их в геометрии немало: поэтапно-вычислительный, алгебраический, тригонометрический, геометрический, метод вспомогательного аргумента, метод площадей, метод подобия, комбинированный метод и др.

Суть этого пособия состоит в том, чтобы кратко раскрыть суть каждого из них, к каждому методу привести задачи с решениями, начиная от самых простых, проанализировать рациональность применения каждого из способов к решению. Этот сборник содержит 28 решенных задач, часть этих задач решена несколькими методами, ещё 20 задач предлагается для самостоятельного решения. К ним приведены ответы.

Надеюсь, что предлагаемая вашему вниманию брошюра поможет читателю погрузиться в увлекательный мир геометрии и успешно овладеть методами решения задач по теме «Медиана треугольника».

Глава 1. Основные теоретические сведения и советы по решению геометрических задач.

Умение решать задачи всегда основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения. Из своего опыта и советов учителя знаю и советую вам, для успешного решения задачи необходимо выполнить следующие условия.

1. Четко знать теоретический материал.

2 . Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание. Не спешите начинать решать задачу. Сначала необходимо

а) ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание;

б) вникнуть в ее содержание. При этом нужно выделить в задаче данные и искомые.

3. После прочтения сделать рисунок.

Нужно научиться делать большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи, а рисунки. Чертежи - рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно облегчить поиск решения, работу над ним.

Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Если идет речь, например, о произвольном треугольнике, то треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным.

4. Необходимо знание методов решения геометрических задач.

Учитывая рекомендации, первым делом изучим теоретический материал по теме «Медиана треугольника».

1.1. Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы, теоремы

Треугольник неисчерпаем – его свойства изучали ещё в древнем Египте, но и в наше время открываются всё новые. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом энциклопедии.

Остановимся подробнее на медиане треугольника и ее свойствах. Сначала вспомним, что

медиана треугольника (лат. mediāna — средняя)  – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны.

Рис.1. Отрезок ВМ – медиана треугольника АВС.

Треугольник имеет три стороны, а значит и медиан у него – три.

Рис. 2 ВМ, АК, СР – медианы треугольника АВС.

Свойства медиан:

1 .Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

Рис 3. BN:NM=AN:NK=CN:NP=1:2, точка N– центроид

треугольника АВС.

2.Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными площадями).

Рис.4SABM=SCBM

3. Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Рис. 5 SAPN=SBPN =SBKN=SCKN SCMN=SAMN

4.Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих.

Рис.6 SABN=SBCN =SACN

5.Если a, b, c – длины сторон треугольника АВС, то длины его медиан ma, mb, mc можно вычислить по формулам:

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

Рис. 7. ОА=ОВ=ОС=R

7.Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключенных внутри треугольника, параллельных той стороне, к которой проведена медиана.

Рис. 8

8. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой и биссектрисой.

Рис.9 ВD - медиана, высота, биссектриса

9*.Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром (точка пересечения высот), все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).

Рис.10

1. 2. Основные методы решения задач по геометрии.

Материалы школьных учебников по геометрии не акцентируют внимания на методах решения задач. Наверное потому, что в отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Но все-таки, можно выделить некоторые основные приемы и методы, знание которых подкрепленные интуицией, помогут найти решение задачи наиболее рациональным способом.

В следующей главе рассмотрим некоторые методы и их применение на практике к решению задач по теме «Медиана треугольника.

Глава2. Примеры применения различных методов и

приемов решения задач

2.1.Метод опорных задач

Под методом опорных задач понимают такие задачи, когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем и задач. Такие задачи надо не только уметь решать, но и знать, и уметь применять содержащиеся в них факты к решению других задач. К таким задачам относятся и теоремы, из первой главы. Приведем их доказательство.

Задача №1. Доказать, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведём в нём медиану BM. Треугольник разбился медианой на два треугольникаABM и CBM, имеющих равные основания AM и CM. Так как у этих треугольников общая высота BN, то SABM =½AM× BN = ½CM×BN = SCBM.

Что и требовалось доказать.

Задача№ 2. Точку пересечения медиан треугольника соединили с его вершинами. Доказать, что площади образовавшихся треугольников равны.