Методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы № 2 по физике для студентов всех технических направлений подготовки заочной сокращённой формы обучения (стр. 7 )

Решение

Энергия тела, совершающего колебания, определяется по формуле

E = mA2w2/2.

Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени A = А0 е - b t,

получим или

E = E0 е -2b t, (1)

где – энергия тела в момент времени t = 0.

К моменту времени t =50 с тело потеряло 60 % своей первоначальной энергии, следовательно,

E = 0,4E0. (2)

Приравнивая (1) и (2), сокращая на E0 и, логарифмируя обе части равенства, найдем:

ln2,5 = 2bt.

Отсюда выражаем b:

b = (ln2,5)/2t. (3)

С другой стороны, b = r/2m. (4)

Из сравнения (3) и (4) получим r = (m ln2,5)/t

После подстановки числовых значений найдем

r = 9,16×10-5 кг/с.

Пример 5. Тело массой m=10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7см, началь - ной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания, равным 1,6 с-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x=5sin(10pt-0,75p)см. Найти: 1) уравнение свободных колеба - ний; 2) уравнение внешней периодической силы.

Решение

Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

х = А0 е - bt sinw t, (1)

где - частота затухающих колебаний; w0 – собст - венная частота колебаний; b - коэффициент затухания.

По условию сдвиг фаз j между собственными и вынужден - ными колебаниями равен – 3p/4; следовательно, tg(-3p/4) = 1.

С другой стороны,

Из равенства

cледует (2)

У нас wв = 10p, b = 1,6 с-1. Подставляя эти значения в (2), получим, w0 = 10,5π. C учётом того, что b2 << w02, получим, что частота w затухающих колебаний равна частоте w0 собственных колебаний. Следовательно, уравнение свободных затухающих колебаний примет вид

х = 7 e-1,6t sin10,5w p t см.

Уравнение внешней периодической силы

F = F0 sinw t. (3)

Амплитудное значение вынуждающей силы

(4)

После подстановки числовых значений получаем F0 =

= 72 мН. С учетом этого уравнение внешней периодической силы будет иметь вид

F = 72 sin10p t мН.

Пример 6. Омическое сопротивление контура Ом, индуктивность , ёмкость . Определить силу тока в контуре в момент времени , если при заряд на конденсаторе , а начальная сила тока равна нулю.

Решение

Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде: , (1)

где ,

.

Начальную фазу и амплитудное значение заряда

определим из начальных условий. Учитывая, что при , получаем

(2)

Взяв производную по t от выражения (1), найдём закон изменения силы тока

. (3)

Так как при I = 0, получаем .

Откуда и . Наконец, из (2) находим

.

С учётом найденных параметров уравнения (3) определим силу тока в контуре в момент времени

.

Пример 7. В цепи, состоящей из последовательно соединённых резистора , катушки индуктивностью и конденсатора ёмкостью , действует синусоидальная ЭДС. Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти действующие значения силы тока I и напряжений UR, UL, UC на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС .

Решение

Под действием переменной ЭДС в цепи установятся вынужденные колебания. При этом амплитудные значения токаи ЭДС связаны соотношениями

.

В соответствии с формулами, связывающими амплитуд - ные и действующие значения токов и напряжений (, ), данное соотношение имеет аналогичный вид и для действующих значений:

.

Максимальному току при резонансе соответствует такое значение ,при котором выполняется условие , откуда .

При этом сила тока .

Зная силу тока I, найдём действующие значения напряжения на каждом из элементов контура. В соответствии с законом Ома для каждого из участков получим:

,

,

Равенство следует из равенства при резонансе.

5.  ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

1. Расстояние d между точечными положительными зарядами q1 = 9q и q2 = q равно 8 см. На каком расстоянии r от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?

2. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1=40 нКл и q2=-10 нКл, находящимися на расстоя - нии d =10 см друг от друга. Определить напряженность Е в точке, удаленной от первого заряда на r1 = 12 см и от второго на r2 = 6 см.

3. В вершинах квадрата со стороной a = 5 см нахо - дятся одинаковые положительные заряды q = 2 нКл. Опреде - лить напряженность поля в середине одной из сторон квадрата.

4. Электростатическое поле создано двумя бесконеч - ными параллельными плоскостями, заряженными с поверхно - стной плотностью s1 =1 нКл/м2 и s2 = -2 нКл/м2. Определить напряженность электростатического поля: 1) между плоско - стями; 2) за пределами плоскостей. Построить график Е(x).

5. Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды |q|=18нКл расположены в двух вершинах равносторон- него треугольника со стороной a=2 м. Найти напряженность поля Е в третьей вершине треугольника.

6. В однородном электростатическом поле с напря - жённостью Е=106 В/м, направленном под углом a=300 к вертикали, висит на нити шарик массой m=2г, несущий заряд q=10нКл. Найти силу натяжения нити.

7. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды q1=q2=q=5 мкКл. Какой точеч - ный заряд необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды q1 и q2, чтобы напряженность электриче - ского поля в третьей вершине треугольника оказалась равной нулю?