Способ измерения глубины движущегося 3D пространства (варианты) (стр. 2 )

Рассмотрим некоторую материальную точку (фиг.1). Её положение мы будем задавать в полярных координатах . Примем за начало координат оптический центр глаза наблюдателя, f - расстояние от оптического центра до сетчатки, равное фокусному расстоянию. Тогда отклонение изображения материальной точки на сетчатке можно представить в виде: , а скорость движения изображения материальной точки. υ i=f* φ

На примере системы двух материальных точек и (фиг.2) рассмотрим, как человек определяет, что система материальных точек вращается. Эти точки движутся относительно начала координат с угловыми скоростями и соответственно. Рассмотрим разность . Если эта разность больше нуля, то угловой размер отрезка будет увеличиваться, если меньше нуля - уменьшаться. Соответственно будет изменяться размер изображения на сетчатке. Исходя из этого, человек делает вывод о вращении объекта. Очевидно, одного только увеличения углового размера объекта недостаточно, чтобы судить о вращении. Например, при приближении к точке наблюдения отрезка, перпендикулярного направлению наблюдения, его угловой размер возрастает при отсутствии вращения. Чтобы понять, есть ли вращение или нет, нужно знать расстояния до материальных точек.

Проведём мысленный эксперимент: пусть в тёмной комнате два точечных источника света (мы считаем, что изменение их яркости с расстоянием незаметно для наблюдателя) закреплены на кольце, которое вращается вокруг своей вертикальной оси симметрии и расположено на уровне глаз наблюдателя. Если мы попросим наблюдателя закрыть один глаз, то он увидит две то сближающиеся, то отдаляющиеся точки. Таким образом, для осознания вращения человеку недостаточно только лишь изменения углового расстояния между точками, необходимо ещё знать: какая из точек находится ближе, а какая дальше. Зрительно оценивать расстояние до предмета, человек может благодаря многим механизмам. Основной из них - это бинокулярное зрение. Однако это возможно и при монокулярном зрении, например, благодаря изменению аккомодации хрусталика, которое мы ощущаем вследствие изменения напряжения мышц.

Для определения направления вращения при изменении углового расстояния между двумя точкам рассмотрим систему двух материальных точек.

Пусть точка находится дальше от наблюдателя, чем точка (), точка - середина отрезка . Т. к. , то угол – острый. Пусть отрезок вращается относительно точки M. Очевидно, будет иметь максимальный угловой размер в том случае, когда . Значит, при увеличении острого угла до прямого угла (вращение против часовой стрелки) угловой размер будет увеличиваться. Затем расстояния и сравняются (при ). При дальнейшем вращении против часовой стрелки и угловой размер будет уменьшаться. Теперь мы можем сформулировать условие вращения системы материальных точек против часовой стрелки:

(1)

или

(2)

Аналогичное условие вращения по часовой стрелке:

(3)

или

(4)

Далее рассмотрим случай движения наблюдателя перпендикулярно направлению наблюдения (например, наблюдение через боковое стекло автобуса).

Чтобы не усложнять модель и сделать её более наглядной, рассмотрим двумерный случай (отвлечемся от высоты объектов). Пусть автобус движется с некоторой скоростью , параллельной оси . Перейдем в систему отсчета, в которой наблюдатель покоится, а окружающие объекты движутся со скоростью (фиг.3).

Тогда для приращения расстояния до точки наблюдения можно записать:

(5)

(6)

Для приращения угла имеем:

(7)

(8)

Рассмотрим точки и . Изменение углового размера отрезка :

(9)

Воспользуемся сформулированными ранее условиями вращения по и против часовой стрелки (1) – (4).

Рассмотрим первое условие в системах (1) – (4). Согласно (9), уравнение можно представить в виде:

(10)

Зафиксируем точку и для каждого положения определим направление вращения . Т. к. точку мы зафиксировали, то где – некоторая постоянная. Поскольку мы рассматриваем только (наблюдатель не видит то, что у него за спиной), то . Тогда (10) задает множество точек :

(11)

Это окружность с центром в точке радиуса . Назовем ее окружность . Условие задает внешнюю по отношению к окружности область, а условие – внутреннюю.

Рассмотрим второе условие в системах (1) – (4). При фиксированной точке уравнение задает окружность с центром в точке радиуса . Условие задает внешнюю по отношению к окружности область, а условие – внутреннюю.

Окружности и пересекаются в точке , а также в точке, симметричной относительно оси абсцисс.

Таким образом, система точек и будет вращаться против часовой стрелки, если точка принадлежит: