Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точках элемента, но могут быть также расположены между угловыми узлами и внутри элемента. Данное различие связано с порядком аппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент. Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию. В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Теоретически такие элементы обеспечивают более точное описание геометрии тела и искомых функций, однако широкого распространения данный тип элементов не получил. При наличии современных автоматических генераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных элементов простой формы, чем использовать элементы высокого порядка, требующие для построения сетки значительной работы вручную.
Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму.
Для конечных элементов, используемых в механических расчетах, определяющее соотношение задает поведение материала, из которого изготовлена конструкция. Например, в качестве такого соотношения во многих случаях используется обобщенный закон Гука, связывающий тензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейного упругого стержневого элемента достаточно задать один модуль Юнга Е и один коэффициент температурного расширения 
.
5.2. Типы конечных элементов
При решении задач МКЭ используются элементы различных типов. Наиболее общие из них:
Одномерные элементы: Простейшими среди элементов является одномерный элемент. Схематически он изображается в виде отрезка(рис. 5.2а), хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций.
Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одному на каждом конце. Элемент более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены на рис. 5.2б и 5.2в. Одномерный элемент может быть криволинейным (рис. 5.2в).
Рис.5.2. Одномерные КЭ
Двумерные элементы: Для построения дискретной модели двумерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (рис 5.3а). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные так и криволинейные стороны(рис 5.3б). Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне(рис 5.3в). Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат.
Рис.5.3. Двумерные КЭ
Трехмерные элементы: Наиболее часто встречающимися трехмерными элементами является тетраэдр и параллелепипед (5.4а и б). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами(плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели, поэтому, вероятно, более желательным из этих двух типов является параллелепипед.
На рис 5.4в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треугольнику и позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третей координаты.
Рис.5.4. Трехмерные КЭ
На рис 5.5 показан элемент широко используемый в осесиметрических задачах. Этот элемент образуется поворотом треугольника на 360º. Подобный элемент может быть получен вращением четырехугольника.
Рис.5.4. Осесимметричный КЭ
5.3. Предпроцессорная подготовка
Действия, относящиеся к подготовке данных, обобщенно называют моделированием конечных элементов. Выполняются эти действия чаще всего препроцессором, рассчитанным на работу с какой-либо конкретной программой анализа методом конечных элементов (FEA).
Типы моделей в инженерном анализе:
· геометрическая;
· расчетная;
· сеточная.
Геометрическая модель обычно представляет собой модель машиностроительного изделия в целом или его детали. Расчетная модель - это упрощенная геометрическая модель, которая используется для анализа. Упрощение или идеализация геометрической модели достигается путем удаления тех ее элементов, которые несущественно влияют на результаты анализа. Сеточная модель представляет собой совокупность узлов и элементов, которая натягивается на расчетную модель. Геометрическая и расчетная модель обычно создаются на этапе конструирования средствами твердотельного и поверхностного моделирования.
Построение сеточной модели.
В различных программах анализа имеются специальные средства генерации произвольной сетки, с помощью которых она может наносится непосредственно на модель достаточно сложной геометрии. Генераторы произвольной сетки обладают широким набором функций управления качеством сетки. Например, в программе ANSYS реализован алгоритм выбора размеров конечного элемента, позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображения ее реальной геометрии.
Когда каждой ячейке сопоставляются узлы, она становится конечным элементом. От сложности сетки зависит размер глобальной матрицы жесткости, численная сложность задачи и объем требуемых вычислительных ресурсов. Точность решения можно повысить увеличением количества ячеек или использованием функций формы более высоких порядков. Размерность элементов должна совпадать с размерностью области задачи. Для одномерных задач используются одномерные элементы, для двумерных — двумерные, и т. д. Наконец, в зонах, где ожидаются резкие изменения неизвестных (напряжения, например, сосредоточиваются в окрестностях отверстий), плотность узлов и ячеек должна быть выше, чем в областях с плавным изменением параметров.
Толщина оболочек и пластин рассматривается скорее как свойство материала, чем как геометрический параметр, что позволяет избежать перехода к трем измерениям. Разные элементы могут иметь разные свойства, благодаря чему пользователь может анализировать составной объект, о чем уже говорилось выше.
6. Ошибки метода конечных элементов
Критерии устойчивости, сходимости и точности в основном определяются погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ. Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов. Разбиение области на КЭ не является единственным. Зависимость расчета от выполняемого пользователем выбора (построения) сетки КЭ и трудность оценки точности получаемых результатов является основными недостатками метода.
Погрешности метода конечных элементов связаны с:
– ошибки дискретизации, являющиеся результатом различий между действительной геометрией рассчитываемой области и ее аппроксимацией системой конечных элементов;
– ошибки аппроксимации, обусловленные разностью между действительным распределением искомых функций в пределах КЭ и их представлением с помощью аппроксимирующих функций.
Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю. Эти ошибки уменьшаются и с применением криволинейных элементов на соответствующих границах области. Ошибки аппроксимации не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размеров элементов или повышения степени аппроксимации, поэтому могут ухудшать сходимость к точному решению или даже приводить к расходимости.
Однако общий метод оценки(универсальный и теоретически обоснованный) погрешности МКЭ на сегодня отсутствует, а точное решение в реальных задачах обычно не известно. Поэтому наиболее часто для оценки погрешности используют следующий прием: выполняют несколько расчетов при различных разбиениях области КЭ, по результатам этих расчетов строится зависимость рассчитанных напряжений (перемещений, деформаций) от размера элемента, затем выполняется экстраполяция на случай размера элемента, стремящегося к нулю.
Однако эти ошибки аппроксимации можно свести к минимуму, если при построении аппроксимирующих функций обеспечить:
1) непрерывность искомой функции и ее производных при переходе через границу КЭ до степени m–1 включительно (m – наибольший порядок производных искомой функции содержащихся в функционале);
2) выполнение условий полноты, т. е. при уменьшении размеров КЭ аппроксимирующие функции должны обеспечить стремление значений искомой функции, а также ее производных к постоянным значениям;
3) выполнение условий совместности искомой функции и частично ее производных на границе между смежными элементами;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
