Сейсмическая томография земли (стр. 4 )

Универсальным и математически обоснованным методом является регуляризация на основе усечения сингулярного разложения. При решении линейных алгебраических уравнений устойчиво могут быть найдены r-решения, являющиеся проекциями точного решения на пространства правых сингулярных векторов. Существуют оценки, связывающие точность данных и задания линейного оператора с точностью получаемого решения [Чеверда, Костин 2010]. R-решения для старших сингулярных векторов содержат информацию о пространственном спектре решения для низких частот. Другими словами, регуляризация на основе сингулярного разложения эквивалентна сглаживанию. Преимущество в том, что единственным параметром является количество сингулярных векторов, которое определяется ошибкой и соответствующим числом обусловленности.

Существует ряд способов описания анизотропии упругих сред, наиболее распространённые из которых параметризации Томсена [Thomsen, 1986] и Шонберга [Schoenberg, de Hoop, 2000]. Предварительным этапом разработки надёжного численного метода восстановления строения среды с учётом анизотропных свойств является определение оптимальной параметризации. Надёжным способом выбора оптимальной параметризации является изучение проекций на пространства старших правых сингулярных векторов [Протасов, Сердюков, Чеверда 2010].

Изложенные подходы регуляризации решения систем линейных уравнений предполагают поиск решения методом наименьших квадратов. Решение определяется как точка минимума функционала среднеквадратичного уклонения действия линейного оператора на вектор моделей и данных. Такой подход устойчиво работает в условиях Гауссовского распределения ошибок в данных. Недостатком метода наименьших квадратов является его повышенная чувствительность к отдельным большим ошибкам в данных. Известно, что решение оказывается устойчивым к таким ошибкам, если в качестве критерия использовать не наименьшие квадраты, а минимизировать абсолютные отклонения [Claerbout, Muir, 1973].

Примеры расшифровки внутренних структур Земли сейсмотомографическим методом приведены на рисунках 1-3.

1)  Численные исследования на модели Северного моря:

Рисунок 1 - Слева – скоростная модель среды, справа – результат обращения синтетических данных (сейсмотомографическое изображение среды).

2)  Примеры сейсмотомографической расшифровки структуры верхней мантии Земли:

Рисунок 2 – Сейсмотомографическое изображение верхней мантии Земли: на верхней горизонтальной плоскости показаны контуры материков, красным цветом выделена горячая или «медленная» мантия, синим – холодная мантия [Su, Woodward, Dziewonski, 1994]).

Рисунок 3 – Столб горячей мантии под Исландией до глубин 400 км [Wolfe, Bjarnason, VanDecar, Solomon, 1997].

Список литературы:

, О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. - 1959. - №3. - С.16-47.

, , Об определении интенсивности волн в теории упругости лучевым методом // Докл. АН СССР. - 1958. - Т.1. - №4. - С.661-664.

, , Мухометов метод определения структуры верхней мантии Земли // Математические проблемы геофизики. - 1979. - С.143-165.

, , Романов метод решения трёхмерной обратной задачи сейсмики // Математические проблемы геофизики. – 1969. – С.179-202

, Марушкевич неоднозначности при определении по годографу скорости распространения сейсмической волны // Докл. АН СССР. - 1965. - 163. - №6. - С.1337-1380.

, , Костин точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах – Новосибирск: Наука, 1992. – 456 с.

, , Прокопов решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976.

Годунов метод численного расчёта разрывных решений гидродинамики // Математический сборник. – 1959. – Т.47. - №3. – С.271 – 306.

Гурвич данных сейсморазведки в случае анизотропной среды // Изв. АН СССР. Серия географ и геофиз. 1940. -№5.-С. 108-116.

, О трёх линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. - 1966. - 171. - №6. - С.1279-1281.

атематические аспекты компьютерной томографии. – М.: Мир, 1990. – 288 с.

, Гречка алгоритмы расчёта лучей в слоисто-анизотропных средах // Геология и геофизика.- 1988. №10. – С.104-112.

, , Чеверда параметризация трансверсально-изотропной среды для обращения времён первых вступлений для системы наблюдений вертикального сейсмического профилирования с выносными источниками // Технологии сейсморазведки. – 2010 -№3. –С. 25-31.

Романов обратные задачи для уравнений гиперболического типа. – Новосибирск: Наука. – 1972. – 162 с.

, Арсенин решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

Мейкин Дж. Обработка сейсмических данных. – М.: Мир, 1989. – 216 с.

, R-псевдообратный для компактного оператора // Сиб. электрон. матем. изв. – 2010. - №7. – С. 258 – 282.

Alkhalifah T., Fomel S. Implementing the fast marching eikonal solver: Spherical versus cartesian coordinates // SEP. - 1995, - P.149-171.

Backus G. E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering // J. Geophys. Res. – 1962. – V. 67. – P.4427-4440.

Bardi M., Stanley Osher. The nonconvex multi-dimensional Riemann problem for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Math. Anal. - 1991. - V.22. - n.2. - P.344-351.

Berryman J. G. Long-wave elastic anisotropy in transversely isotropic media // Geophysics. – 1979. – V.44. – P.896-917.

Bodin T., Sambridge M. Seismic tomography with the reversible jump algorithm // Geophys. J. Int. – 2009. – V.178. – P.1411-1436.

Cameron M. K., Fomel S., Sethian J. A. Seismic velocity estimation and time-to-depth conversion of time migrated images // (SVIP 1.7), SEG conference, New Orleans, LA. – 2006.

Crandall M. G., Lions P. L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Am. Math. Soc. - 1983. - V.277. - P.1-42.

Cristiani, E. A fast marching method for Hamilton-Jacobi equations modeling monotone front propagations / E. Cristiani // Journal of Scientific Computing. – 2009. - V.39. - n.2. - P.189-205.

Dijkstra E. W. A note on two problems in connexion with graphs // Numerische Mathematik. - 1959. - n.1. - P.269-271.

Dines K. A., Lytle R. puterized geophysical tomography // Proc. IEEE. - 1979. - V.67. - n.7. - P.1065-1073.

Falcone M., Giorgi T., Loreti P. Level sets of viscosity solutions: some applications to fronts and rendez-vous problems // SIAM J. Appl. Math. - 1994. - V.54. - P.1335-1354.

Fomel S. Shaping regularization in geophysical-estimation problems // Geophysics. – 2007. – V.72. – n.2. – P. R29-R36.

Gambarelli J., Guerinel G., Chevrot L., Mattei M. Ganzkörper--Computer—Tomographie. – Springer – 1977.

Claerbout J. F., Muir F. Robust modeling of erratic data // Geophysics. – 1973. – V.38. – P.826–844.

Gordon R. A tutorial on PRT // I. E.E. E. Trans. Nucl. Sci. – n. S21. 1974.– P.78-93.

Herglotz G. Über das benudorfsche problem der fortplanzungsgeschwindigkeit der erdbebenstralen // Z. Geophys. - 1907. - V.8. - P.145-147.

Herman G. T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms // Comp. Biol. Med. - 1976. - n.6. - P.273-294.

Hudson J. A. Wave speeds and attenuation of elastic waves in material containing cracks // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. – 1981. - V.64. – P.133-150.

Kim S., Cook R. 3-D traveltime computation using second-order ENO scheme // Geophysics. - 1999. - V.64. - n.6. - P.1867-1876.

Levin F. K. Reflection from a dipping plane-Transversely isotropic solid // Geophysics. – 1990. – V.55. - P.851-855.

Lions P. L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi eqyations // Research notes in mathematics. – 1982.- V.69. Pitaman, Boston, Mass. - London. – 204-245.

Mersereau R. M., Oppenheim A. V. Digital reconstruction of multi-dimensional signals from their projections // Proc. I. E.E. E. – 1974. – V.62. – P.1319-1338.

Michelena R., Harris J. M. Tomographic traveltime inversion using natural pixels // Geophysics. – 1991. – V.56. – n.5. – P.635-644.

Moser T. J., Nolet G., Snieder R. Ray bending revisited // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1992. - V.82. - P.259-288.

Osher S., Shu C. W. High-order essentially nonoscillatory schemes for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Numer. Anal. - 1991. - V.28. - n.4. - P.907-922.

Pederson J. E., Paulson B. N., McEvilly T. V. Application of algebraic reconstruction techniques to crosshole seismic data // Geophysics. -1985. - V.50. - n.10. - P.1566-1580.

Peryra V., Lee W. H.K., Keller H. B. Solving two-point seismic-ray tracing problems in heterogeneous medium // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1980. - V.70. - P.79-99.

Qian J., Symes W. An adaptive finite-difference method for traveltimes and amplitudes // Geophysics. – 2002b. - V.67. - n.1. - P.167-176.

Qian J., Symes W. Finite-difference quasi-P traveltimes for anisotropic media // Geophysics. – 2002a. - V.67. - n.1. - P.147-155.

Sayers C. M. Seismic anisotropy of shales // Geophysical Psop. – 1994. – V. 53. – P.667-576.

Schlichter L. B. The theory of the interpretation of seismic travel-time curves in horizontal structure // Physics. - 1932. - V.3. - P.273-295.

Sethian J. A. Fast marching level set method for monotonically advancing fronts // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1996. - V.93. - P.1591-1595.

Sethian J. A. Fast marching methods // SIAM Rev. - 1999. - V.41. - P.199-235.

Sethian J. A. Level set methods and fast marching methods. Envolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision and materials science // Cambridge University Press. - 1999.

Sethian J. A., Popovich M. Three dimensional traveltimes computation using the fast marching method // Geophysics. - 1999. - V.64, - n.2. - P.830-903.

Su W., Woodward R. L., Dziewonski A. M. Degree 12 Model of Shear Velocity Heterogeneity in the Mantle // J. Geophys. Res. 1994. Vol. 99, N B4.

Sun Y. Ray tracing in 3-D media by parameyerized shooting // Geophys. J. Int. - 1993. V.114, - P.145-155.

Thomsen, L. Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock // Geophysical Prosp. – 1995. – V.43. – P. 805–829.

Thurber C. H., Advances in travel-time calculations for 3-D structures / C. H. Thurber, E. Kisling // Advances in seismic event location. Kluwer Academic Publishers. - 2000. - P.71-99.

Tomsen, L. 1986. Weak elastic anisotropy / L. Tomsen // Geophysics. – 1986. – V.51. – P.1954-1966.

Trier, J. Upwind finite-difference calculation of traveltimes / J. Trier, W. W. Symes // Geophysics. - 1991. - V.56. - P.812-821.

Um, J. Fast algorithm for two-point seismic ray tracing / J. Um, C. A. Thurber // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1987. - V.77. - P.972-986.

Vasco, D. W., Majer, E. L., and Peterson, J. E., 1995. Beyond ray tomography: Wavepaths and Fresnel volumes / D. W. Vasco, E. L. Majer, J. E. Peterson // Geophysics. – 1995. – V.60. – P.1790-1804.

Vidale J. Finite-difference calculation of travel times / J. Vidale // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1988. - V.78. - P.2062-2076 .

Wolfe, C. J., Bjarnason, I. T., VanDecar, J. C. & Solomon, S. C., 1997.
Seismic structure of the Iceland mantle plume, Nature, 385, 245–247.

Woodward M. J., Nichols D., Zdraveva O., Whitfield P., Johns T. A decade of tomography // Geophysics. – 2008. – V.73. – n.5. – P. VE5-VE11.

Xu, S. A new velocity model for clay-sand mixtures / S. Xu, R. E. White // Geophysical Prosp. – 1995. – V.43. – P.91-118.