Сейсмическая томография земли (стр. 1 )

СЕЙСМИЧЕСКАЯ ТОМОГРАФИЯ ЗЕМЛИ

Научно-популярное описание сейсмотомографического метода изучения внутреннего строения Земли. Примеры расшифровки внутренних структур Земли сейсмотомографическим методом. Материалы подготовлены при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках Соглашения о предоставлении гранта в форме субсидии № 000.

 

Одной из задач геофизики является определение внутреннего строения Земли по результатам наблюдений волновых полей в отдельных ее точках. Метод сейсмической разведки направлен на восстановление скоростного строения геологической среды с помощью сейсмических волн. Определение физических свойств исследуемой среды основано на решении обратных кинематических и динамических задач теории упругости. В настоящее время обращение сейсмических данных проводят с использованием обоих подходов, дополняющих друг друга: с помощью кинематики определяют макроскоростную модель среды, а границы с резкими перепадами акустических свойств восстанавливают по динамическим характеристикам волнового поля.

Кинематический подход исторически является более ранним. Исходными данными для обратной кинематической задачи являются времена пробега упругих волн из источников в приёмники, которые могут быть определены с высокой точностью. Первые результаты восстановления скоростного строения по временам пробега упругих волн от землетрясений получены в начале двадцатого века Герглотцем и Вихертом [Herglotz, 1907; Wiechert, Zoeppritz, 1907].Обратная кинематическая задача решалась аналитическими методами. Так, в работе Шлихтера [Schlichter, 1932] рассмотрена задача восстановления скоростного строения вертикально- неоднородной среды.

Дальнейшие усилия долгое время были направлены на развитие методов решения одномерной задачи. В частности, характер неоднозначности решения обратной кинематической задачи изучен и [Гервер, Марушкевич, 1965]. Одними из первых являются результаты для двумерной постановки обратной кинематической задачи, изложенные и [Лаврентьев, Романов, 1966]. Основополагающими в области обратных кинематических задач являются работы , , и др., посвящённые исследованию кинематической задачи в линеаризованной постановке [Алексеев и др., 1969; Алексеев и др., 1979].

В современной научной литературе обратную кинематическую задачу часто называют задачей сейсмической томографии. Компьютерной томографией называется численное восстановление функций по их криволинейным или поверхностным интегралам, которое находит применение в различных областях науки и техники [Натеррер, 1990]. Впервые о компьютерной томографии заговорили в начале 70-х годов прошлого столетия в связи с рентгенодиагностикой в медицине [Натеррер, 1990; Ganzkörper – Computer - Tomographie, 1977].

Отличие сейсмической томографии от медицинской заключается в существенно более ограниченных возможностях наблюдения волнового поля, а также в том, что геометрия сейсмических лучей существенно зависит от неизвестного скоростного строения среды. В медицинской томографии задача проще тем, что используется рентгеновское излучение и лучи можно считать прямыми. Задача восстановления скоростного разреза геологической среды является нелинейной. Многие аналитические и полуаналитические численные методы, широко применяемые в медицинской томографии (например, алгоритмы свёртки), не могут быть, как правило, использованы для решения обратной кинематической задачи геофизики.

В современной геофизике обратная задача кинематики решается численно. Применяется стандартная техника поиска минимума целевого функционала, представляющего собой норму разности измеренных данных и данных, рассчитанных с помощью решения прямой задачи для текущей модели среды. Первые работы в этом направлении появились в конце 70-х - начале 80-х годов [Dines, Lytle, 1979; Pederson et al., 1985].

Известно, что многие горные породы обладают анизотропными свойствами, и скорость распространения сейсмических волн зависит от направления [Thomsen, 1986]. Закон Гука, уравнения, описывающие распространение волн, законы преломления, трассировка лучей в анизотропной среде существенно отличаются от изотропного случая. В частности, широко распространённые глинистые сланцы обладают анизотропными свойствами вследствие своей микроструктуры, состоящей из тонких слоёв. Распространение сейсмических волн в сланцах может быть описано в рамках модели трансверсально-симметричной среды с вертикальной осью симметрии. Методика построения эффективных трансверсально-изотропных моделей, описывающих тонкослоистые среды, представлена в работах Backus [1962] и Berryman [1979]. Модели для глин и сланцев рассматриваются в [Sayers, 2005] и [Xu, White, 1995]. Методы введения анизотропии для трещиноватых сред разработаны Hudson [1981] и Thomsen [1995].

Традиционно обработка сейсмических данных проводится в рамках модели изотропной среды. Для небольших выносов (меньше 30°) и незначительной анизотропии "изотропные" методы работают достаточно хорошо, но в ряде случаев неучёт анизотропии приводит к значительным ошибкам. В работе Levin [1990], Гурвич [1940] проведены модельные исследования ошибки, возникающей при неучёте анизотропии в методе отражённых волн. Задача томографии в анизотропной среде изучена слабо и недостаточно представлена в литературе.

Известны три основных способа численного решения задачи томографии: методы матричного обращения, методы преобразования Фурье, алгебраические процедуры восстановления [Хаттон, 1989].

Методы матричного представления основаны на линеаризации задачи, в результате которой получается линеаризованный томографический оператор. Возмущения времён пробега при этом зависят от возмущений среды вдоль лучевых траекторий в невозмущённой среде. Целевая область дискретизуется, как правило, с помощью прямоугольной сетки с постоянным значением скорости в ячейке, берётся конечное число источников и приёмников. Исходный линейный томографический оператор, действующий в бесконечномерных пространствах, аппроксимируется конечномерным линейным оператором, действие которого представляется умножением соответствующей томографической матрицы на вектор из пространства моделей. Решением системы алгебраических уравнений находятся неизвестные возмущения параметров среды. После этого можно модифицировать начальную модель, заново построить лучи и невязки времён пробега, сформировать новую матрицу и вектор данных, решить систему линейных уравнений и получить следующее приближение. Процедура повторяется до тех пор, пока мера различия между наблюдёнными и рассчитанными временами пробега не станет меньше некоторой заданной величины. Достоинством матричного обращения является отсутствие ограничений на геометрию расстановки источников и приёмников и на форму лучевых траекторий. Недостатком метода, не позволявшим широко применять его в 80-х и начале 90-х годов прошлого века являются высокие затраты машинной памяти на хранение томографических матриц и время вычислений для трассировки лучей и решения соответствующих систем линейных уравнений. На современных компьютерах, даже на персональных, можно составлять и решать томографические системы достаточно больших размерностей.

Методы преобразования Фурье основаны на теореме о сечении спектра, которая утверждает, что одномерное преобразование Фурье проекции на направление, задаваемое углом относительно фиксированной оси некоторой функции двух переменных, совпадает с сечением двумерного преобразования Фурье этой функции, направленной под тем же углом плоскостью [Mersereau, Oppenheim, 1974]. Проекцией функции двух переменных на направление называется функция одной переменной, получающаяся в результате интегрирования исходной функции по прямым с одинаковым наклоном относительно фиксированной оси. В случае прямолинейных лучевых траекторий и полного набора данных, когда лучи пересекают область под всевозможными углами, на основе изложенной теоремы можно создать очень быстрый метод обращения. Вначале вычисляются преобразования Фурье всех проекций на различные направления и по ним строится двумерный спектр. Затем с помощью обратного двумерного преобразования Фурье находится исходное поле скоростей. На данном этапе приходится применять интерполяцию двумерного спектра при переходе от полярных к декартовым координатам. На практике более эффективным оказывается эквивалентный свёрточный подход, или восстановление по отфильтрованным проекциям, основанный на обратном преобразовании Радона [Хаттон, 1989; Наттерер, 1990]. Достоинствами данной группы методов являются быстрота и строгая математическая обоснованность. Недостатками методов, основанных на преобразовании Фурье, являются предположение о прямолинейности лучевых траекторий и требование хорошей освещённости области лучами. Эти ограничения делают методы мало применимыми в задачах сейсморазведки на проходящих волнах.

Алгебраические процедуры восстановления имеют дело с таким же матричным уравнением, как и метод матричного представления. Единственное отличие состоит в том, что решение системы уравнений выполняется специальным методом итераций. В пределах целевой области, изображение которой требуется построить, рассчитывается ход лучей и определяются времена пробега. Невязки между наблюдёнными и расчётными значениями времён пробега перераспределяются вдоль каждой лучевой траектории, отсюда получается новое приближение. Достоинствами метода являются быстрота решения линеаризованной задачи на каждой итерации и гибкость в отношении геометрии наблюдений и допустимой формы лучевых траекторий. Известно большое число модификаций изложенного алгоритма [Herman et al., 1976; Gordon, 1974; Scudder, 1978; Dines, Lytle, 1979]. Данный метод широко применялся в 80-х годах прошлого века в связи со слабыми мощностями вычислительной техники того времени. В некоторых современных работах этот метод также рассматривается. Процедура решения линеаризованной задачи с помощью размазывания возмущений вдоль лучей даёт грубое приближение решения. Восстановить достаточно сложные структуры этим методом не удаётся.

Таким образом, наиболее универсальными методами решения задач сейсмической томографии являются методы матричного обращения. Для достаточно сложных скоростных распределений с криволинейными лучами и неполной освещённостью лучами целевой области использование матричного обращения является единственно возможным вариантом.