МОДЕЛИРОВАНИЕ НУКЛОН-НУКЛОНОГО РАССЕИВАНИЯ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Чжо Аунг Хеин,
Комсомольский-на-Амуре государственный
технический университет
E-mail: *****@***ru
Получены парциальные нуклон-нуклонные потенциалы для 3SD1 волн методом решения обратной задачи, основанном на уравнении Марченко с использованием рациональной аппроксимации S-матрицы. Впервые, в подобном анализе была учтена явная связь с ∆∆(3S1) каналом. В моделировании были использованы современные данные фазового анализа нуклон-нуклонного рассеяния до лабораторной энергии Eлаб=3 ГэВ. В работе учтены релятивистские эффекты в рамках релятивистской квантовой механики в точечной форме динамики взаимодействия.
При описании процесса нуклон-нуклонного рассеяния до лабораторной энергии Eлаб=3 ГэВ необходимо учитывать релятивистские эффекты, поскольку энергия покоя нуклона (и ∆ изобары) имеет величину порядка 1 ГэВ. В нашей работе эти эффекты учитываются использованием точечной формы (ТФ) релятивистской квантовой механики (РКМ). В РКМ предполагается, что при не очень больших энергиях релятивистские эффекты с достаточной точностью можно учесть, предполагая неизменным число частиц, но, полагая, что группой инвариантности для системы является группа Пуанкаре вместо группы Галилея. ТФ РКМ, как и две другие используемые в литературе формы, была предложена в работе Дирака [1]. В ТФ взаимодействие между частицами системы входит в генераторы трансляции пространства-времени, в то время как генераторы однородной группы Лоренца – вращений и бустов свободны от взаимодействия. Общий способ введения взаимодействий в генераторы группы Пуанкаре был предложен в работах Бакамджана и Томаса [2]. Подробный обзор РКМ дан в работе [3]. Результаты исследований в этой области показали, что, в конечном счете описание системы двух взаимодействующих частиц может быть сведено к решению релятивистского квазипотенциального уравнения формально имеющего вид обычного уравнения Шредингера. Таким образом, для исследований в этом подходе может быть использовано большинство результатов нерелятивистской теории квантового рассеяния с некоторым изменением интерпретации используемых величин (приведенной массы, величин волнового вектора в каналах и др.). Детали этих изменений могут быть найдены в [3,4].
Одним из мощных методов нерелятивистской квантовой теории рассеяния является метод обратной задачи квантовой теории рассеяния, и в частности, методы Марченко [5] и Гельфанда-Левитана [6] для случая, когда известна зависимость S-матрицы от энергии для какого-то одного значения углового момента. В настоящей работе развивается предложенный нами ранее аналитический метод решения уравнения Марченко для рациональной аппроксимации S-матрицы [7] в случае двух связанных каналов. В [7] нами было показано, что разработанный метод может быть обобщен на случай произвольного числа связанных парциальных волн. В тоже время, для подобного обобщения требуется найти аппроксимацию Паде общего вида для унитарной симметричной матрицы произвольной размерности. В [7] использовалась аппроксимация Паде элементов симметричной унитарной матрицы для случая L=2. Нами был также указан способ такой аппроксимации для L>2 и явно представлена такая аппроксимация для случая трех связанных каналов [8]. Таким образом, был получен метод определения потенциала взаимодействия частиц из экспериментальных данных по рассеянию для случая трех связанных парциальных волн. В тоже время, формализм работ [7,8] предполагал, что массы всех частиц во всех каналах одинаковы. Такое приближение очевидно оправдано в случае только нуклон-нуклонных каналов, поскольку массы протона и нейтрона примерно равны. В тоже время случай частиц с разной массой является, очевидно, более общим и представляет значительный интерес в частности при анализе данных нуклон-нуклонного рассеяния с учетом связи с изобарными каналами, где массы изобар ∆ и N* существенно отличаются от масс нуклонов. Именно эта задача решается в этой работе.
В работе [9] была получен способ общей параметризация унитарных симметричных матриц. Этот способ позволяет выразить элементы S-матрицы через тригонометрические функции вещественных параметров. Для описания связанных каналов NN(3SD1) - ∆∆(3S1) нам необходима такая параметризация для матрицы 
:
(1)
для которой мы получаем используя результаты работы [5]:
; 
;
; (2)
; 
;
Теперь несложно получить аппроксимацию Паде элементов S-матрицы, используя следующие подстановки для элементарных функций:
, 
, 
(3)
В этих выражениях f1(q), f2(q) – нечетный и четный полиномы q, которые не обращаются в ноль при одинаково q. Неизвестные коэффициенты полиномов рассчитываются по данным парционального фазового анализа данных рассеяния [7]. Поскольку подстановки (3) сохраняют унитарность S-матрицы, это позволяет использовать полученную аппроксимацию Паде S-матрицы для аналитического решения уравнения Марченко.
Радиальное уравнение Шредингера для случая трех связанных каналов рассеяния имеет вид
(4)
Потенциал в этом случае - матрица:
(5)
в которой 
– потенциал в i-том канале; 
- потенциал, связывающий i и j каналы. В нашем случае частиц разной массы в каналах 
имеет вид матрицы:
(6) Относительные импульсы 
в каналах определяются по релятивистским формулам:
где 
– квадрат полной инвариантной массы системы двух нуклонов,
– кинетическая энергия рассеиваемого нуклона в лабораторной системе отсчета.
Уравнение Марченко имеет вид
(7)
в нашем случае
и 
-матрицы размерности . Исходные данные для решения обратной задачи заданы в виде:
, (8)
здесь 
- это матрица рассеяния, которая зависит от относительного импульса 
; 
-энергия 
-го связанного состояния, так что 
Матрица 
задает асимптотическое поведение –го нормированного связанного состояния.
Ядро 
задано выражением
, (9)
здесь I – единичная матрица.
(10)
и 
– функция Ханкеля. Выражение для ядра получается, подстановкой аппроксимацию S-матрицы (1) в (9).
, (11)
- полюса S-матрицы с 
- полюса второго порядка; 
определяется выражением:
. (12)
Как нами было показано ранее [6], интегральное уравнение (7) решается подстановкой
(13)
-искомые функциональные матрицы, их можно найти из условия линейной независимости матриц 
и 
.Как нам было показано расчет может быть сведен к решению системы линейных уравнений.
После определения 
можно рассчитать потенциал 
по формуле:
(14)
Описанный метод мы применили для реконструкции парциальных потенциалов NN(3SD1) - ∆∆(3S1) . В качестве исходных данных были использованы данные фазового анализа нуклон-нуклонного рассеяния. На рисунке 1. показаны результаты расчета для NN(3S1) канала.
Рис. 1. Потенциал в NN(3S1) канале.
Таким образом, разработанный нами ранее аналитический метод решения обратной задачи квантовой теории рассеяния может быть обобщен на случай произвольного числа связанных каналов с различными значениями парциальных волновых векторов, для чего может быть использована параметризация S-матрицы в виде, предложенном в работе [9]. В дальнейшем разработанный метод будет использован для восстановления всех существенных парциальных потенциалов нуклон-нуклонного взаимодействия с явной связью с изобарными каналами. Эти потенциалы могут быть использованы для расчета соответствующих волновых функций и описания различных нуклонных систем и реакций с ними.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Dirac P. A. M. Forms of Relativistic Dynamics// Rev. Mod. Phys., 1949, V. 21, – P. 392-396.
2. Bakamjian B. and Thomas L. H. Relativistic Particle Dynamics. II// Phys. Rev., 1953, V. 92, – P. 1300-1310.
3. Coester F. Scattering Theory for Relativistic Particles// Helv. Phys. Acta, 1965, V. 38, P. 7.
4. Coester F. Lecture Notes in Physics// 1982, V. 162,Argonne, 1990.
5. , Марченко задача теории рассеяния// Харьков: изд. ХГУ, 1963.
6. Levitan B. M. Generalized Translation Operators and Some of the Applications// New York: Daley, 1964.
7. Khokhlov N. A. and Knyr V. A. Reconstruction of the optical potential from scattering data // Phys. Rev., 2006, V. 73, – р. 024004.
8. , , Чжо Аунг Хеин. Решение обратной задачи квантовой теории рассеяния для произвольного числа связанных волн// Вестник КнАГТУ, 2016. №1 (25), – С. 22-27.
9. Diţă P., Parametrisation of unitary matrices// J. Phys. A: Math. Gen., 1982, V. 15, - P. 3465-3473.
