Доказательство нулевой погрешности трисекции произвольного угла методом непараллельной прямой. Доказательство от обратного

Доказательство нулевой погрешности трисекции произвольного угла методом непараллельной прямой. Доказательство от обратного.

1.Дан произвольный угол ABC, трисекцию которого необходимо произвести

2. Метод непараллельной прямой требует прямого угла, поэтому продолжим построение, добавив хорду AC и перпендикуляр BN к ней из точки B. Получим равнобедренный треугольник, состоящий из двух равных прямоугольных треугольников ABN и BNC. А поскольку они равны, то рассмотрим только один из них

3.Рассмотрим прямоугольный треугольник BNC. Представим, что у него произведена трисекция всех углов идеально, при помощи вычислительных средств компьютера. Есть прямой угол BNC, угол NBC в 53,8818°,являющийся половинным от произвольно взятого нами, угол NCB в 36,1182° и осуществлена их идеальная трисекция.

4. Отметим точки пересечения трисектрис углов, противолежащих катетам прямоугольного треугольника BNC и трисектрис прямого угла:

Трисектрисы BS с трисектрисой NR в точке P. Трисектрисы СТ c трисектрисой NM в точке Q.

5. Рассмотрим треугольники BPN и CQN. У этих треугольников есть одно общее замечательное свойство – Радиусы, описанных около них окружностей равны сторонам, противолежащим углу в 30° ,то есть длинам отрезков трисектрис CQ и BP. Докажем это. Так, как BN – перпендикуляр к стороне NC, то угол N = 90°.Известно, что трисектрисы NR и NM делят прямой угол N на три равных угла .Треугольники CQN и BPN имеют по одной общей стороне с прямоугольным треугольником BNC – CN и BN соответственно. Сторона QN треугольника CQN и сторона PN треугольника BPN лежат на трисектрисах NM и NR, Соответственно угол N/3 для каждого из треугольников CQN и BPN равны 30°. Синус 30° = Это константа. Используем расширенную теорему синусов, а именно формулу радиуса окружности, описанной около произвольного треугольника:

Что и требовалось доказать.

6.Воспользуемся свойством серединных перпендикуляров треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы. Известно, что сумма углов треугольника равна 180°, но сумма трисекторных углов треугольника равна 60°

Поскольку треугольники CQN и BPN содержат по два триссекторных угла, и один из этих углов равен 30°, то другой трисекторный угол всегда меньше 30°,соответственно углы NQC и NPB тупые и треугольники CQN и BPN – тупоугольные. Исходя из свойства серединных перпендикуляров, у тупоугольного треугольника центр описанной окружности находится вне треугольника.

7.Построим циркулем описанные окружности треугольников CQN и BPN при помощи серединных перпендикуляров. Отметим центры окружностей - E для треугольника CQN и H для BPN. Также построим окружности с центрами в точках B и С радиусами равным радиусам окружностей для соответствующих треугольникам CQN и BPN. А поскольку радиусы равны отрезкам трисектрис BP и CQ, то они пересекут и центры окружностей H, E и точки пересечения этих окружностей внутри треугольника, являющихся также точками P и Q пересечения трисектрис треугольника BNC(Я оставил на чертеже только серединные перпендикуляры к сторонам BN и CN для разборчивости и потому, как для данного доказательства другие перпендикуляры не требуются).

8.Серединный перпендикуляр к стороне CN треугольника CQN является также серединным перпендикуляром стороны CN треугольника BNC. Серединный перпендикуляр к стороне BN треугольника BPN является также серединным перпендикуляром стороны BN треугольника BNC. Как было доказано ранее треугольник BNC – прямоугольный, в соответствии со свойством серединных перпендикуляров для прямоугольного треугольника BNC, центр описанной окружности находится на середине гипотенузы BC, в точке W. Начиная с данного пункта, я рекомендую воспринимать данный чертеж как прямоугольную систему координат с центром в центре пересечения серединных перпендикуляров прямоугольного треугольника BNC, то есть в центре описанной около этого треугольника окружности.

9.Поскольку треугольники CQN и BPN касаются друг друга в общей точке N, являющейся также одной из вершин треугольника BNC, то и окружности описанные около этих треугольников касаются друг друга (Внешнее касание).Из теоремы о касательных окружностях следует, что расстояние d между центрами касающихся друг друга окружностей H и Е в точке N равно сумме радиусов этих окружностей и это расстояние соответственно прямая линия, пересекающая точку N, общую для треугольников CQN и BPN и BNC. Таким образом это расстояние равно сумме отрезков CQ и BP трисектрис CT и BS треугольника BNC

10.Так, как треугольник CQN имеет одну общую с треугольником BNC сторону CN, то и окружность, описанная около треугольника CQN пересекают вершину C прямоугольного треугольника BNC. Аналогично для треугольника BPN. Поскольку центры окружностей H и E a)лежат на перпендикулярных прямых б)касаются друг друга, то линии, проведенные из центров окружностей H и E к точкам B и C, расположенным на дугах соответствующих окружностей и являющихся вместе с этими точками вершинами прямоугольного треугольника, параллельны.

10.Из этого следует, что длина гипотенузы BC равна сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников CQN и BPN образованных трисектрисами, соответственно длина BC равна расстоянию между центрами этих окружностей и равна сумме отрезков CQ и BP трисектрис CT и BS треугольника BNC. Порядок действий для трисекции угла соответственно будет обратный.

Вывод:

Это доказательство точности моего метода трисекции от обратного. Я описал доказательство точности своего способа трисекции произвольного угла методом непараллельной прямой, основываясь на:

-Равенстве прямоугольных треугольников, образованных проведением хорды и бисекцией произвольного угла

-Константе синуса трисекторного угла (sin(30°)=0,5) для любого прямого угла и противолежащей ему стороне

-Расширенной теореме синусов, использованной для доказательства равенства длины стороны треугольника противолежащей углу в 30° и радиуса окружности, описанной около этого треугольника

-Свойством серединных перпендикуляров для тупоугольных и прямоугольных треугольников

-Теоремой о сумме углов треугольника и сумме трисекторных углов треугольника

-Теоремой о касательных окружностях

-Теоремой о параллельных прямых

-Теоремой о перпендикулярных прямых

Из всего вышесказанного следует, что данный способ построения не приближенный, а точный, основанный на аксиомах и теоремах связанных в одно целое.

(Стоит учитывать, что BC параллельна HE тогда и только, когда углы противолежащие катетам в прямоугольном треугольнике равны 45°, а исходный угол трисекцию, которого необходимо произвести, равен 90°)

Приложение 1. Почему так происходит? Почему именно непараллельная прямая?

Все дело в том, что в прямоугольном треугольнике трисекция углов описывается каноническим уравнением эллипса

Красная точка и непараллельная гипотенузе прямая находятся в том положении, которое и получается при геометрическом построении этим методом. Но если представить, что прямая закреплена на серединных перпендикулярах и начать её двигать, то мы получим эллипс описывающий прямоугольный треугольник, для которого справедливо уравнение

Где a- большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса, x – ½ катета a прямоугольного треугольника, y – ½ катета b прямоугольного треугольника.

Таким образом уравнение эллипса трисекции прямоугольного треугольника удобно записать в таком виде:

Примечательно, что разность переменных в левой части этого уравнения - это синусы внутренних углов катетов прямоугольного треугольника образованных трисектрисами (Описано подробно в другом документе).

Для прямоугольного треугольника и описанного около него эллипса справедливо уравнение

Где p – длина трисектрисы, проведенной из вершины большего катета к ближайшей вершине треугольника Морлея, q – длина трисектрисы, проведенной из вершины меньшего катета к ближайшей вершине треугольника Морлея

Также справедливы уравнения

a0 - большая полуось эллипса, b0 – малая полуось эллипса

Соответственно длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна сумме длин большой и малой полуосей эллипса описанного около этого треугольника

Получается интересная зависимость

Эллипс, описанный около прямоугольного треугольника, отображает зависимость с трисекцией углов этого треугольника и его трисектрисами тогда и только тогда, когда квадрат суммы полуосей эллипса равен сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника или квадрату его гипотенузы.

Приложение 2. Как проверить правильность построения?

Правильность построения трисекции угла можно при помощи треугольника Морлея и высоты фигуры трапециевидной формы.

Если построение верно, то перпендикулярная прямая от большего основания этой фигуры до меньшего основания сольется со стороной треугольника Морлея в одну линию.