Учебные материалы для студентов заочной формы обучения (стр. 2 )

Пример 4. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармонический ряд расходится.

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или расходятся.

Пример 5. Ряд расходится, т. к. гармонический ряд расходится и

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при р < 1 ряд сходится; б) при р > 1 ряд расходится; в) при р = 1 вопрос остается открытым.

Пример 6. Ряд сходится, так как

Пример 7.Ряд расходится, так как

Пример 8. Рассмотрим ряд . Имеем

Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Воспользуемся вторым признаком сравнения, выбрав для сравнения гармонический ряд :

,

следовательно, данный ряд расходится.

Признак Коши. Пусть дан ряд с неотрицательными членами и существует . Тогда а) при q < 1 ряд сходится; б) при

q > 1 ряд расходится; в) при q = 1 вопрос остается открытым.

Пример 9. Ряд сходится так как

.

Интегральный признак. Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале [1, +¥ ). Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то также расходится.

Пример 10. Рассмотрим ряд . С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при a > 0. Возьмем функцию , которая удовлетворяет всем условиям интегрального признака. Рассмотрим интеграл

Устремляя N к бесконечности, выясним, сходится ли несобственный интеграл в различных случаях.

Если , то , т. е. интеграл конечен и, следовательно, ряд сходится.

Если , то -интеграл бесконечен и ряд расходится.

Если , то ,-интеграл бесконечен и ряд расходится.

Заметим, что ни признак Даламбера, ни признак Коши не решают вопрос о сходимости этого ряда.

В частности, при имеем сходящийся ряд ; при - расходящийся гармонический ряд ; при - расходящийся ряд и т. д.

Форма промежуточного контроля

зачет

Перечень примерных вопросов для подготовки к зачету.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИКЕ ( 3с)

1.Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные).

2. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

5.Метод вариации. Метод отыскания частного решения по виду правой части.

6.Двойной интеграл (определение, вычисление).

7. Двойной интеграл в полярных координатах.

8.Вычисление площадей плоских фигур.

9.Тройной интеграл (определение, вычисление).

10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

11. Вычисление объемов тел.

12.Криволинейные интегралы первого и второго рода ( определение, вычисление.

13.Числовые ряды (определение, понятие суммы).

14.Признаки сходимости положительных рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный).

15.Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.

16.Разложение функций в степенные ряды.

17. Ряды Тейлора и Маклорена.

18. Приближенные вычисления с помощью рядов.

19. Ряды Фурье (определение, сходимость)..

20. . Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Оформление письменной работы согласно МИ 4.2-5/47-01-2013 Общие требования к построению и оформлению учебной текстовой документации

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература

1.  Шипачев математика: Учеб. для вузов / . – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

2.  Пискунов и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. I: – М.: Интеграл – Пресс, 2004. – 416 с.

3.  Шипачев по высшей математике: Учеб. пособие для вузов / . – 3-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 304 с.

4.  Баврин математика: Учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов. – 2-е изд., стер. – М.: Изд. центр «Академия»; Высш. шк., 2001. – 616 с.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.

6.  Письменный лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004.

7.  , Письменный задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004.

8.  Чистякова математика частьIII (учебное пособие для заочников).

Ведущий преподаватель ЛЕСКОВА Т. М.

IV семестр

Краткое содержание курса

№ те- мы	Наименование раздела дисциплины	Всего часов по разделу	Аудиторные занятия	СРС	Аудиторные занятия в т. ч.
Лекции	Лабораторные	Практические
1.	Теория функций комплексного переменного.	38	6	32	4	-	2
2.	Численные методы.	28	4	24	2	-	2
3.	Элементы комбинаторики. Теория вероятностей. Основные понятия и методы математической статистики.	78	6	72	4	-	2
Итого часов по 4 семестру	144	16	128	8	-	8

Содержание программы учебных занятий

№ п/п	Содержание лекции	Кол-во часов
1	2	3
IV семестр
1.	Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условие Коши-Римана. Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная формула Коши. Ряды в комплексной области. Нули функции. Изолированные особые точки. Вычеты функции. Теорема Коши о вычетах. Численные методы. Метод итераций. Метод Ньютона.	2
2.	Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Классическое и геометрическое определение вероятности. Методы вычисления вероятностей. Комбинаторика. Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа, Пуассона.	2

3	Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины. Нормальное распределение, его свойства. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.	2
4.	Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя дисперсия. 2 Статистические оценки генеральной средней и доли. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Определение параметров нелинейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов.	2

Форма текущего контроля