Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений
· ,учитель математики
Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.
В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах
Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.
Важно сформировать у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.
Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:
· Задачи на движение по местности.
· Задачи на движение по воде.
· Задачи на работу.
· Задачи на нахождение дробей
· Задачи , в которых используется формула числа
· Задача с геометрическим содержанием
· Задачи на смеси и т. д.
Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.
В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием.
Алгоритм решения задач на совместную работу.
1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1. Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т. е. 
, где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
2. Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
3. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.
Задача №1
Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.
2. Пусть х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, у - время, необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда
– производительность первого комбайнера, 
– производительность второго комбайнера.
3. 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.
4.Составим систему уравнений:
у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.
Задача №2
Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.
Задача №3
Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?
Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.
1. Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц
2. Искомое двузначное число 10х + у
3. Составить систему уравнений
Задача №1.
Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.
Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.
2х2 + 12х – 32 =0
х2 +6х – 16 =0
х1 =-8 (посторонний корень) х2 =2, тогда у =4.
Ответ: 24.
Задача №2. Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число. (27).
Задача №3. Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).
Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.(32).
Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
Алгоритм решения задач на смеси.
1. х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.
2. Найти содержание растворенного вещества в растворах, т. е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)
3. Составить систему уравнений.
Задача №1 Смешали 30% - ный раствор соляной кислоты с 10% - ным и получили 600г 15% - ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).
Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т. е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.
Составим систему уравнений:
0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.
Задача №2 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Задача №3 Смешали 10% - ный и 25% - ный растворы соли и получили 3 кг 20% - ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Алгоритм решения задачи на движение, переведем реальные ситуации на математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и решим их, тем самым решив исходную задачу.
Задача 1.
Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
Решение:
Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения:
S – расстояние, V – скорость, T – время.
Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим математическую модель.
Если лодка движется по течению, то она имеет скорость 
км/ч и пройдет 14 км за время 
Если лодка движется против течения, она идет со скоростью 
км/ч и пройдет 14 км за время 
.
Решим полученную систему.
Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.
Задача 2.
Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти скорость каждого поезда.
Задача с геометрическим содержанием:
«Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см2. Найти катеты».
Решение: Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так:
Прибавляя к первому уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: 
откуда 
или 
Так как х и у – положительные числа, то 
Из этого уравнения выразим у через х и подставим в одно из уравнений системы, например во второе: 
Решим полученное уравнение:
Подставляя эти значения в формулу 
находим 
В обоих случаях один из катетов равен 5 см, другой 12 см.
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.
Задача на нахождение площади:
«Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?»
Решение: Пусть длина и ширина участка прямоугольной формы равны х и у метрам. Используя формулы нахождения периметра и площади прямоугольника, а также соотношения 1 км=1000 м и 1 га=10000 м, условие задачи запишем так:
Выразим из второго уравнения значение у: 
Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение: 
Подставляя полученные значения в формулу 
Ответ: длина и ширина участка 300 м и 200 м.
Задачи, предлагаемые для самостоятельной работы
1. Два числа составляют в сумме 47. Если первое из них разделить на второе, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти эти числа.
2. Два числа составляют в сумме 46. Если первое из них разделить на второе, то в частном получится 3, а в остатке 2. Найти эти числа.
3. В двух ящиках находится 140 рублей. Если из первого переложить во второй 15 рублей, то в обоих окажется поровну. Сколько денег в каждом?
4. В двух ящиках находится 300 рублей. Если из второго переложить в первый 30 рублей, то в обоих ящиках окажется поровну. Сколько денег в каждом?
5. В двух бочках налита вода; если перелить из первой во вторую 6 ведер, то в обеих будет поровну; если же перелить 4 ведра из второй в первую, то в первой окажется вдвое более, чем во второй. Сколько воды в каждой бочке?
6. В двух бочках налита вода; если перелить из первой во вторую 10 ведер, то в обеих будет поровну; если же перелить 5 ведер из второй в первую, то в первой окажется втрое более, чем во второй. Сколько воды в каждой бочке?
7. В кошельке находятся пятикопеечные и двухкопеечные монеты. Требуется уплатить сумму в 95 копеек и отдать весго 25 монет. Сколько монет каждого достоинства нужно отдать?
8. Две трубы наполняют бассейн в 15 часов. Если бы в течение пяти часов вода текла из обеих труб, а потом вторую закрыли; то одна первая могла бы докончить наполнение бассейна в 40 часов. Во сколько часов каждая труба отдельно наполняет бассейн?
9. Владелец, конного завода, запасая овес для лошадей, рассчитал, что если он продаст 6 лошадей, то купленного овса хватит на 10 дней долее; если же он прикупит еще 18 лошадей, то овса недостанет на 15 дней. Сколько лошадей и на сколько дней запасено овса?
10. Владелец конного завода, запасая овес для лошадей, рассчитал, что еслн он продаст 15 лошадей, то купленного овса хватит на 20 дней долее; если же он прикупит еще 20 лошадей, то овса недостанет на 10 дней. Сколько лошадей и на сколько дней запасено овса?
11. Два путешественника проходят один и тот, же путь длиною в 1440 верст, выходя из места отправления одновременно. Второй оканчивает путешествие 20-ю днями раньше первого. Время, в течение которого первый делает 56 верст, сложенное с временем, в котороое второй делает 96 верст, составляет 5 дней. Сколько верст делает каждый ежедневно?
12. Два путешественника проходят один и тот, же путь длиною в 500 верст, выходя из места отправления одновременно. Первый оканчивает путешествие 6-ю днями раньше второго. Время, в течение которого первый делает 105 верст, сложенное с временем, в котороое второй делает 100 верст, составляет 4 дня. Сколько верст делает каждый ежедневно?
13. Сумма цифр трехзначного числа равна 17. Цифра сотен вдвое больше цифры единиц. Если от искомого числа отнять 396, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но напиисанными в обратном порядке. Найти это число.
14. Сумма цифр трехзначного числа равна 19. Цифра единиц втрое больше цифры сотен. Если к искомому числу прибавить 594, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.
15. Некто, отдав одну часть капитала по 4%, другую по 5% и третью по 6%, получает с них дохода 530 р.. Первая часть доставляет дохода на 70 р. меньше второй. Пятипроцентный доход со всего капитала на 30 р. меньше получаемого дохода. Определить три части капитала.
16. Некто, отдав одну часть капитала по 5%, другую по 4% и третью по 3%, получает с них ежегодно 400 рублей дохода. Первая часть доставляет дохода на 60 р. больше третьей. Четырех-процентный доход со всего капитала такой же, какой теперь получается. Определить части капитала.
17. Имеются два сплава золота и серебра. В одном эти металлы смешаны в отношении т : п, в другом в отношении р : q. Требуется отделить от сплавов по части так, чтобы часть, отделенная от первого сплава, весила больше другой на а фунтов и чтобы при сплавлении этих частей золото и серебро смешались в отношении r : s. По скольку фунтов должны содержать отделенные части?
18. Две бочки, вместимостью по а ведер, наполнены смесью спирта и воды. В первой эти жидкости смешаны в отношении т : п, во второй в отношении р : q. По скольку ведер нужно отлить из каждой бочки, чтобы из отлитых частей составить смесь, в которой спирта и воды поровну, а, смешав то, что останется, получить смесь спирта и воды в отношении r : s?
Литература:
1. . Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. “ Просвещение”.
2. , . Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. “Генжер”.
3. . Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.
4. , , . Сборник задач по алгебре.
8 – 9. “ Просвещение”.
