Министерство здравоохранения Украины
Национальный медицинский университет
Имени
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Для самостоятельной работы студентов
Учебная дисциплина: "Медицинская и биологическая физика"
Направление: медицина
Специальность: "Лечебное дело", "Педиатрия", "Медико-профилактическое дело", "Медицинская психология","Стоматология"
Кафедра Медицинской и биологической физики
Авторы: , ,
Утверждено на заседании кафедры от 31.08.2015 г.,протокол № __1__
Рассмотрено и утверждено: ЦМК из физ.- хим. дисциплин
от " 1.09 " 2015 года, протокол № 1
Вступление. Целью рабочей тетради является помощь в усвоении студентами основных понятий и методов математической статистики для решения простейших задач медицинской и биологической физики. Студенты должны научиться находить основные числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение), оценивать наличие корреляционной связи между признаками, проводить точечное и интервальное оценивание параметров генеральной совокупности с заданной надежностью. С этой целью студентам предложены различные по сложности задачи. Критериями оценки выполнения указанных задач будет умение студентом продемонстрировать не только решение задач тетради для самостоятельной работы студента, но и подобных по сложности и предложенных преподавателем при проверке выполненных самостоятельно. Для правильного ведения тетради студентам предлагается подробно расписывать все этапы выполнения заданий.
Тема 5. «Основы математической статистики»
Цель: научить студентов использовать методы математической статистики для решения простейших задач медико-биологического характера. Научить оценивать параметры генеральной совокупности по выборке, устанавливать наличие корреляционной связи между признаками.
Знать: - что называется дискретной и непрерывной случайной величиной;
- Что называется распределением случайной величины;
- Основные числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсия, среднееквадратическое отклонение)
- Нормальный закон распределения случайной величины;
- Корреляционная зависимость между случайными величинами;
- Коэффициент корреляции;
- Генеральная совокупность и выборка;
- Точечная оценка параметров генеральной совокупности (выборочное среднее, стандартное среднеквадратическое, исправлена дисперсия) по выборке;
- Интервальные оценки параметров генеральной совокупности, точность и надежность оценки.
Уметь: - классифицировать дискретные и непрерывные случайные величины;
- Уметь вычислять основные числовые характеристики распределения:
математическое ожидание, дисперсию и среднееквадратическое отклонение;
- Вычислять коэффициент корреляции между случайными величинами;
- Оценивать значимость корреляционной связи между признаками;
- Рассчитывать доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины.
Основные понятия темы: дискретная случайная величина, непрерывная случайная величина, распределение случайной величины, математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, функция плотности закона распределения случайной величины, функция плотности нормального закона распределения, корреляционная зависимость между случайными величинами, коэффициент корреляции, генеральная совокупность и выборка, полигон и гистограмма, доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины.
Рекомендованная литература
1. Медицинская и биологическая физика: Учебник для студентов высших мед. учебных завед. IV уровня аккред. /, , и др.; Под редакцией . – Винница: Нова Кныга, 2011. - 568 с.
2. Ремизов и биологическая физика.-М.: Высшая школа, 1999. – 616 с.
3. Ремизов Н. Х., Максина задач по медицинской и биологической физике. - М.: Высшая школа, 1987.
4. Баварин математика. – М.: Просвещение, 1980.
5. , , Дунаев математика: Учебник для вузов. – М.: Высш. школа, 1978.
Вопросы для теоретического обработки:
1. Что называется дискретной случайной величиной?
2. Что называется непрерывной случайной величиной?
3. Что называется распределением случайной величины?
4. Назвать основные числовые характеристики распределения.
5. Что называется математическим ожиданием случайной величины?
6. Что называется дисперсией случайной величины?
7. Что называется среднеквадратичным отклонением случайной величины?
8. Записать формулу функции плотности нормального закона распределения.
9. Дать определение корреляционной зависимости между случайными величинами.
10. Записать формулу для расчета коэффициента корреляции.
11. Генеральная совокупность и выборка.
12. Полигон и гистограмма.
13. Точечный оценивания параметров генеральной совокупности (выборочное среднее, стандартное среднеквадратическое, исправлена дисперсия) по выборке.
14. Интервальная оценка параметров геренальнои совокупности. Точность и надежность оценки.
Задача для самостоятельной работы темы:
Задача 1. Вычисление математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения.
1. Закон распределения случайной величины задан таблицей
X | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
2. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 3 | 4 | 7 | 9 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
3. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
4. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -3 | -1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
4. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
6. При измерении содержания белка (в%) в сыворотке крови пациентов получено: 5,22; 5,25; 5,31; 5,54; 5,60; 5,80; 5,96; 6,00; 6,12; 5,22; 6,00; 5,54. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
7. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -5 | -2 | 1 | 4 | 8 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
8. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 4 | 7 | 10 | 12 |
P | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
9. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -10 | -6 | 0 | 5 | 11 |
P | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
10. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 1 | 5 | 8 | 12 | 15 |
P | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
11. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 7 | 10 | 13 | 15 |
P | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
12. При исследовании влияния различных доз кофеина на содержание остаточного азота (в грамм-процентах) в белках полушарий головного мозга в контрольном опыте на 8 крысах был получен такой вариационный ряд: 0,160; 0,174; 0,201; 0,217; 0,223; 0,230; 0,243; 0,254. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
13. У 10 больных антракосиликозом I стадии измерялся остаточный объем легких и были получены следующие значения вариант (в л): 2,01; 2,05; 2,15; 2,20; 2,23; 2,27; 2,30; 2,31; 2.35; 2,40. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
14. Определяли содержание витамина С в ростках салата (в мг%). Выполнено 12 анализов и получены следующие данные: 10,0 10,5; 11,6; 13,2; 12,4; 10,0 12,0; 11,6; 12,1; 10,5; 11,2; 12,4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
15. Содержание кальция в крови (в условных единицам) определялся в 10 пробах. Получены следующие данные: 11,10; 11,24; 11,10; 11,33; 11,36; 11,32; 11,24; 11,30; 11,42; 11,15. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
Задача 2. Установление наличия корреляционной связи между случайными величинами.
1. Установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 5 | 10 | 7 | 6 |
Y | 0,1 | 0,6 | 0,2 | 0,5 |
2. Установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 3,3 | 1,6 | 3,5 | 2,9 |
Y | 1,7 | 1,2 | 3,0 | 2,7 |
3. Установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 2 | 8 | 12 | 15 | 18 |
Y | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,5 | 0,8 |
4. Установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 10 | 20 | 26 | 31 | 40 | 45 |
Y | 0,5 | 0,7 | 0,6 | 0,8 | 1,1 | 1,4 |
5. По данным измерений роста и массы новорожденных в роддоме установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 47 | 46,5 | 49 | 48 | 50 | 51 | 52 |
Y | 3,25 | 3,75 | 3,8 | 3,5 | 3,8 | 3,9 | 4,2 |
6. По данным измерений роста и массы новорожденных в роддоме установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 45 | 46 | 47,5 | 49 | 51 | 52 | 54 |
Y | 2,8 | 3,7 | 3,8 | 3,5 | 3,9 | 4,0 | 4,3 |
7. По данным наблюдений полученные значения Х и Y некоторых физиологических параметров. Установить наличие корреляционной связи между случайными величинами Х и Y:
Х | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 |
Y | 8,5 | 8,7 | 9,0 | 9,3 | 9,4 | 9,6 | 9,8 |
8. За даними спостережень отримані значення Х та Y деяких фізіологічних параметрів. Встановити наявність кореляційного зв'язку між випадковими величинами Х та Y:
Х | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 |
Y | 36 | 39 | 40 | 41 | 42 | 42 | 43 |
9. По данным значений объема циркулирующей крови (Хи гематокрита (Y), приведенных в таблице, рассчитать коэффициент корреляции между Х и Y.
X | 31 | 34 | 38 | 40 | 42 | 46 | 50 | 52 | 55 | 58 |
Y | 15 | 21 | 18 | 30 | 31 | 25 | 39 | 32 | 40 | 45 |
10. Исследовали пробы крови по содержанию калия (Х) и магния (Y). Данные представлены в таблице. Вычислить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y
X (ммоль/л) | 3,3 | 3,5 | 3,6 | 3,8 | 4,1 | 5,0 | 5,2 |
Y (ммоль/л) | 0,5 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,3 |
11. Исследовалась зависимость коэффициента экстинкции хрусталика глаза (Y, см) от длины волны света (Х, мкм) в видимой области спектра. Получили следующие результаты:
X | 0,45 | 0.47 | 0,50 | 0,53 | 0,54 | 0,56 | 0,60 | 0,61 |
Y | 0,72 | 0,76 | 0,68 | 0,54 | 0,48 | 0,39 | 0,28 | 0,26 |
Определить коэффициент корреляции.
12. Исследовали пробы крови по содержанию железа (Х) и фосфора неорганического (Y). Вычислить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y
X (ммоль/л) | 8 | 10 | 12 | 18 | 23 | 29 | 32 |
Y (ммоль/л) | 0,7 | 2,0 | 0,84 | 2,1 | 1,9 | 2,2 | 2,4 |
13. Исследовалось связь между содержанием фосфора в молоке (Х, мкг) и оптической плотностью раствора (Y). Результаты опытов приведены ниже:
X | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 | 600 |
Y | 0,320 | 0,370 | 0,420 | 0,320 | 0,420 | 0,500 | 0,600 | 0,690 | 0,750 | 0,800 |
Вычислить коэффициент корреляции.
14. Исследовалось связь между содержанием гемоглобина (Х) и гематокритом (Y). Результаты обследований приведены в таблице.
X | 8,0 | 8.3 | 9,6 | 10,0 | 10,4 | 10,8 | 11,2 | 11,8 | 12,0 | 12,3 |
Y | 25 | 26 | 29 | 30 | 31 | 33 | 40 | 38 | 39 | 44 |
Рассчитать коэффициент корреляции.
15. Изучали зависимость между массой зерен ржи (Х, мг) и содержанием масла (Y). Получили следующие результаты:
X | 36,2 | 42.3 | 42,6 | 43,0 | 44,4 | 42,8 | 39,2 | 38,8 |
Y | 6,2 | 5,6 | 4,8 | 5,4 | 6,5 | 7,1 | 6,8 | 7,0 |
Найти коэффициент корреляции.
Задача 3. Определить доверительные интервалы для математического ожидания с указанной в задачах доверительной вероятностью.
1. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
2. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 3 | 4 | 7 | 9 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,99.
3. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
4. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -3 | -1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
5. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,99.
6. При измерении содержания белка (в%) в сыворотке крови пациентов получено: 5,22; 5,25; 5,31; 5,54; 5,60; 5,80; 5,96; 6,00; 6,12; 5,22; 6,00; 5,54.
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
7. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -5 | -2 | 1 | 4 | 8 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,99.
8. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 4 | 7 | 10 | 12 |
P | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
9. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | -10 | -6 | 0 | 5 | 11 |
P | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,999.
10. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 1 | 5 | 8 | 12 | 15 |
P | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
11. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
X | 2 | 7 | 10 | 13 | 15 |
P | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,99.
12. При исследовании влияния различных доз кофеина на содержание остаточного азота (в грамм-процентах) в белках полушарий головного мозга в контрольном опыте на 8 крысах был получен такой вариационный ряд: 0,160; 0,174; 0,201; 0,217; 0,223; 0,230; 0,243; 0,254. Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
13. У 10 больных антракосиликозом I стадии измерялся остаточный объем легких и были получены следующие значения вариант (в л): 2,01; 2,05; 2,15; 2,20; 2,23; 2,27; 2,30; 2,31; 2.35; 2,40. Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,99.
14. Определяли содержание витамина С в ростках салата (в мг%). Выполнено 12 анализов и получены следующие данные: 10,0 10,5; 11,6; 13,2; 12,4; 10,0 12,0; 11,6; 12,1; 10,5; 11,2; 12,4. Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
15. Содержание кальция в крови (в условных единицам) определялся в 10 пробах. Получены следующие данные: 11,10; 11,24; 11,10; 11,33; 11,36; 11,32; 11,24; 11,30; 11,42; 11,15. Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,999.
16. При исследовании сыворотки крови на холестерин (в мг%) у мужчин (50-54 лет) во время гипертонического криза полученные результаты 210; 215; 230; 231; 232; 231; 238; 240; 245. Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
17. При исследовании среднего содержания витамина В2 в зернах ржи получены следующие данные: 278; 284; 276; 280; 282; 278; 280; 274; 282; 278; 280. Определить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,99.
Задача для СРС
Тема практического занятия | Аудиторная самостоятельная работа студента | Время подготовки студента к занятию (ч) | Формы внеаудиторной самостоятельной работы | |
Обязательные и одинаковые для всех студентов | По выбору студента | |||
Основы математической статистики | Нахождение основных характеристик распределения случайных величин. Установление наличия корреляционной связи между признаками. Точечное и интервальное оценивание параметров геренальной совокупности. Точность и надежность оценки. | 3,4 | Решение задач, примеров, предложенных студентом в тетради, оформленные рабочей тетради для самостоятельной работы студента | Решение задач, примеров, не представленные в данном тетради из литературных источников по выбору студента |
