УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»
|
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
01. 01.01 - вещественный, комплексный
и функциональный анализ
Гродно 2016
СОСТАВИТЕЛЬ:
, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики ГрГУ им. Я. Купалы, доктор физ.-мат. наук, профессор.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
, член-корреспондент НАН Беларуси, заведующий кафедрой функционального анализа БГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор;
, профессор кафедры математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры ГрГУ им. Я. Купалы, доктор физ.-мат. наук, профессор.
Программа рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры фундаментальной и прикладной математики
(протокол № 6 от 21. 04. 2016г.);
Рекомендована к утверждению на заседании учебно-методической комиссии по специальности (протокол № 4 от 01.01.2001 г);
Рекомендована к утверждению на заседании Советам факультета математики и информатики (протокол № 4 от 01.01.2001 г.);
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В основу вступительной программы по специальности «01.01.01- вещественный, комплексный и функциональный анализ» положены курсы математического анализа, теории функций комплексной переменной, функционального анализа и интегральных уравнений.
Перечисленные курсы читаются на математических факультетах университетов. Программа для аспирантского экзамена является более насыщенной и трудоёмкой в смысле усвоения.
Изучение материалов, изложенных в программе, имеет своей целью глубокое ознакомление с фундаментальными достижениями по перечисленным разделам математики, лежащим в основе современных исследований в этих областях.
Аспирант должен свободно владеть основными методами дифференциального и интегрального исчисления, теории функций и функционального анализа; знать основные определения и факты, а также идеи доказательства центральных теорем. Наряду со знанием основных понятий и теорем экзаменуемый должен продемонстрировать умение подробно проводить доказательства, решать упражнения и приводить необходимые примеры и контрпримеры.
Предполагается наличие математического университетского образования и высокого уровня знаний других базовых и смежных курсов алгебры, геометрии и топологии, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
СОДЕРЖАНИЕ ЭКЗАМЕНА
Тема 1. Математический анализ
1. Действительные числа.
2. Предел последовательности и функции.
3. Непрерывные функции. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
4. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
5. Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций.
6. Формула Тейлора.
7. Предел и непрерывность функций многих переменных
8. Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница.
9. Числовые ряды.
10. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
11. Степенные ряды и ряды Тейлора.
12. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функции многих переменных.
13. Кратный интеграл Римана..
14. Поверхностные интегралы.
15. Тригонометрический ряд Фурье.
16. Преобразование Фурье.
Тема 2. Теория функций вещественной переменной.
1. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо.
2. Лебегово продолжение меры.
3. Измеримые функции и их свойства.
4. Интеграл Лебега.
5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини.
Тема 3. Теория функций комплексного переменного.
1. Комплексные числа и комплексная плоскость.
2. Определение аналитической функции. Условия Эйлера-Даламбера.
3. Интегральная теорема Коши и формула Коши.
4. Ряды Тейлора и Лорана.
5. Теоремы о единственности для аналитической функции.
6. Принцип максимума модуля для аналитической функции.
7. Изолированные особые точки.
8. Аналитическое продолжение.
Тема 4. Функциональный анализ.
1. Метрические пространства.
2. Полные метрические пространства.
3. Принцип сжимающихся отображений.
4. Норма и нормированные пространства.
5. Банаховы пространства и линейные операторы в них.
6. Функционалы в нормированных пространствах. Теорема Хана-Банаха.
7. Сопряжённое пространство.
8. Сопряжённый оператор и его свойства.
9. Гильбертово пространство. Ортонормированные системы.
10. Самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве.
Литература
1. , Радыно анализ и интегральные уравнения. – Минск: Изд. университетское, 2004. – 352с.
2. . Курс математического анализа. В 2-х томах. М., Высшая школа, 1981.
3. . Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974.
4. , . Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1972.
5. . Теория операторов. М., Изд. МГУ, 1986.
6. . Теория аналитических функций. В 2-х частях. М., Наука. Т. 1 – 1967, Т.2 – 1968.
7. . Введение в теорию функций комплексного переменного. М., Наука. 1977.
Дополнительная литература
1. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. – Т. 1,2,3. – М.: Наука, 1961.
2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу (любое издание).
3. Никольский математического анализа. – Т. 1,2. – М.: Наука, 1973.
КРИТЕРИИ ОЦЕНОК
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ
по специальности 01.01.01 - Вещественный, комплексный
и функциональный анализ
10 баллов. Поступающий в аспирантуру при ответе на теоретические вопросы полностью и свободно оперирует программным учебным материалом различной степени сложности, использует математическую терминологию и символику, сведения из различных учебных курсов и дисциплин; умеет осознанно и оперативно применять свои знания для решения нестандартных задач, проявляет творческий подход в применении специальных и интеллектуальных умений и навыков.
9 баллов. Поступающий в аспирантуру правильно и в полном объёме без всяких недостатков ответил на теоретические вопросы, свободно оперировал программным материалом, при ответе на дополнительные вопросы экзаменаторов, грамотно оформил ответ; показал высокое знание математических фактов и следствий.
8 баллов. Поступающий в аспирантуру правильно и полно ответил на теоретические вопросы, но допустил не более двух несущественных ошибок (или одну существенную), которую смог самостоятельно исправить при анализе правильности ответа.
7 баллов. Поступающий в аспирантуру правильно и полно ответил на оба теоретических вопроса, но допущены два несущественных недостатка, который он смог самостоятельно исправить или правильно и полно ответил на один из теоретических вопросов, но в ответе на второй вопрос допустил не более двух существенных ошибок, которые смог самостоятельно исправить с помощью экзаменатора или смог исправить одну из них самостоятельно.
6 баллов. При достаточно полном и правильном ответе на теоретические вопросы допущено по одному существенному недостатку, которые поступающий смог исправить с помощью экзаменатора или полно ответил на один из вопросов, но в ответе на второй допустил две существенные ошибки (или одну существенную, одну несущественную и две погрешности), которые не смог самостоятельно исправить.
5 баллов. Поступающий правильно и полно ответил на один из теоретических вопросов, а по второму показаны не очень глубокие знания основного материала.
4 балла. Поступающий правильно и полно ответил на один из теоретических вопросов и показал знание исходных формул, но при этом допустил не более двух ошибок, которые не смог исправить без помощи экзаменатора.
3 балла. Неполно раскрыто содержание теоретических вопросов, но при этом показано общее понимание или ответил на один из теоретических вопросов и показал знания основного материала по второму, но при этом допустил не более двух ошибок, которые не смог исправить без помощи экзаменатора.
2 балла. Не раскрыт основной смысл теоертич6еского материала, обнаружены незнания или непонимание большей части материала, хотя был дан ответ на один из вопросов.
1 балл. Совсем не раскрыт смысл теоретического материала, либо приступил к ответу, но не смог ответить, а при ответе на дополнительные вопросы экзаменатора обнаружил незнание программного материала. Отказ от ответа.
