Билет 1 (стр. 7 )

Таким образом i-тая компонента (k + 1)-го приближения вычисляется по формуле:

Условие сходимости

Приведем достаточное условие сходимости метода.

Теорема.

Пусть, где – матрица, обратная к . Тогда при любом выборе начального приближия : метод Гаусса-Зейделя сходится;скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем ;верна оценка погрешности: .

Условие окончания

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:Более точное условие окончания итерационного процесса имеет види требует больше вычислений. Хорошо подходит для разреженных матриц.

Билет 14

Постановка первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в одномерной области по пространству x в каждый момент времени t: (1) (2)

Построение разностного метода решения задачи (1), (2).

Аппроксимируем заданную область сеточной областью(сеткой):

(3)

где wth, gth – соответственно внутренние и граничные точки сеточной области, h, t - шаги сетки аргументов, - весовой параметр. Эти величины выбираются из условий заданной точности e, порядка погрешности заданного варианта метода и его условия устойчивости. Вариант разностного метода определяется значением параметра (см. далее). Для аппроксимации дифференциального оператора, на сетке vth выбираем шести точечный шаблон (рис. 1).

(x-h, t+t) (x, t+t) (x+h, t+t)

§ ──────────§──────────§

Рис.1. Шести точечный шаблон.

∙──────────∙──────────∙

(x-h, t) (x, t) (x+h, t)

На этом шаблоне строим приближение дифференциального оператора разностным:,

где , . Аппроксимируем заданные функции сеточными функциями .

В результате замены в задаче (1), (2) непрерывных величин дискретными, получаем разностную схему с весами вида:(3)

где получаемая после решения разностной схемы сеточная функция

является приближенным решением исходной задачи (1), (2) на сетке .В зависимости от значений весового параметра (веса) получаем различные варианты разностного метода.

Билет 15

Постановка первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в одномерной области по пространству x в каждый момент времени t: (1) (2)

Неявный разностный метод ().

Разностная схема (3) в индексном виде образует неявный метод и имеет вид

(4)

Будем рассматривать эту разностную схему как рекуррентное уравнение по временному индексу k. Тогда для определения решения на следующем шаге по времени (временном шаге) из предыдущего начиная с надо решить (4) при каждом . Для построения алгоритма приведем подобные члены с неизвестными в (4), тогда получим трех точечную краевую задачу для каждого -го временного слоя с условием на нулевом временном слое :

(5)

Здесь введены обозначения , (6)

.Решение на k-м временном слое обозначим как .войства схемы (4) неявного() разностного метода.

Неявная разностная схема (4) безусловно устойчива. Погрешность метода для имеет порядок точности =O(h2+t2). Для - порядок =O(h2+t). Здесь .Разностная схема в виде (5) при каждом k решается методом прогонки. Метод прогонки. Решает трех точечную краевую задачу (7)

Формулы метода прогонки:

Прямой ход: (8) (результаты : запоминаем).

Обратный ход : (9) Получаем для (7) решение: .

Билет 16

Первая краевая задача для уравнения колебания струны имеет вид

(2) Для построения разностного метода задачи (1), (2) аппроксимируем заданную об­ласть сеточной областью:

где wth, gth - соответственно внутренние и граничные точки сеточной области, h, t - шаги сетки аргументов, которые выбираются из условий заданной точности e, порядка по­грешности заданного метод и условий устойчивости. На сетке vth выбираем девяти то­чечный шаблон (рис. 1).

Рис.1. Девяти точечный шаблон

Разностная схема с весами на этом шаблоне имеет вид:

. В (4) введены обозначения:

Уравнение (4) имеет погрешность аппроксимации [1]. Аппроксимируем второе начальное условие с порядком . По формуле Тейлора.Используя начальные данные в (2) и предполагая существование (1) при ,получим.Таким образом разностное уравнение (*) аппроксимирует первую производную в начальных условиях с порядком . Таким образом, получим всю разностную схему (4), (5) с погрешностью аппроксима­ции. При параметре , называемым весом, неявная разностная схема устойчива. Более точно . (Для явной разностной схемы устойчивость при ).