Билет 1 (стр. 8 )

Неявный метод Будем определять приближенное решение по временным слоям. Для определения реше­ния на следующем слое по времени из предыдущего, надо решить трех точечную краевую задачу при каждом k начиная с :

(6) Здесь введены обозначения

: Решение на k-м временном слое обозначим как .

Разностная схема (6) при каждом k решается методом прогонки.

Для решения трех точечных краевых задач (6) следует использовать метод прогонки с формулами:

Прямой ход (7)(результаты : запоминаем). Обратный ход. Задаем . По формуле (8) получаем для (6) решение: .

Билет 17

Первая краевая задача для уравнения колебания струны имеет вид

(2) Для построения разностного метода задачи (1), (2) аппроксимируем заданную об­ласть сеточной областью:

где wth, gth - соответственно внутренние и граничные точки сеточной области, h, t - шаги сетки аргументов, которые выбираются из условий заданной точности e, порядка по­грешности заданного метод и условий устойчивости. На сетке vth выбираем девяти то­чечный шаблон (рис. 1).

Рис.1. Девяти точечный шаблон

Разностная схема с весами на этом шаблоне имеет вид:

. В (4) введены обозначения:

Уравнение (4) имеет погрешность аппроксимации [1]. Аппроксимируем второе начальное условие с порядком . По формуле Тейлора.Используя начальные данные в (2) и предполагая существование (1) при ,получим.Таким образом разностное уравнение (*) аппроксимирует первую производную в начальных условиях с порядком . Таким образом, получим всю разностную схему (4), (5) с погрешностью аппроксима­ции. При параметре , называемым весом, неявная разностная схема устойчива. Более точно . (Для явной разностной схемы устойчивость при ).

Явный метод Метод устойчив при выборе шагов сетки аргументов: Будем определять приближенное решение по временным слоям. Для определения реше­ния на следующем временном слое из предыдущего, надо решать рекуррентное уравнение при каждом k начиная с по алгоритму: начал. усл. (6)

изменение временных слоев; граничные условия;;

уравнение получения решения на k+1 – м временном слое:

Здесь введены обозначения : Решение на k-м временном слое обозначено как .Все решение, полученное по временным слоям по временным будет

.